big O notation

大O符号是一种算法复杂度的相对表示方式。

这个句子里有一些重要而严谨的用词：

相对(relative)：你只能比较相同的事物。你不能把一个做算数乘法的算法和排序整数列表的算法进行比较。但是，比较2个算法所做的算术操作（一个做乘法，一个做加法）将会告诉你一些有意义的东西；

表示(representation)：大O(用它最简单的形式)把算法间的比较简化为了一个单一变量。这个变量的选择基于观察或假设。例如，排序算法之间的对比通常是基于比较操作(比较2个结点来决定这2个结点的相对顺序)。这里面就假设了比较操作的计算开销很大。但是，如果比较操作的计算开销不大，而交换操作的计算开销很大，又会怎么样呢？这就改变了先前的比较方式；

复杂度(complexity)：如果排序10,000个元素花费了我1秒，那么排序1百万个元素会花多少时间？在这个例子里，复杂度就是相对其他东西的度量结果。

在你阅读了本文剩余部分后，再回来重读上面的文字吧。

我所能想到的大O符号最好的例子就是做算术。拿两个数字（123456和789012）举例。我们在学校里学到的基本算术操作是：

加法；

减法；

乘法；

除法。

它们中每一个都是一次操作或一个问题。为它们求解的方法就被叫做算法（algorithm）。

加法是最简单的了。你把加数排成行，按列加上每个数字，把所加得的数的末位数字写到结果里。所加得的数的十位及其以上的数字转入下一列的计算中。

让我们假设在算法中，加上这些数是计算开销最大的操作。合乎情理的说，为了把这两个数加起来我们必须要加6次数字（并且可能进位到第7次）。如果我们把两个100位数相加，我们必须做100次加法操作。如果我们把两个10,000位数相加，我们必须做10,000次加法操作。

看到这里的模式了吗？复杂度（complexity，就是操作的数量），对于加法中较大数的数字个数n，是直接成比例的。我们称这为O(n)或者线性复杂度（linear
complexity）。

除了借位替代了进位，减法也是相似的。

乘法就不同了。你把乘数排成行，取放在下面的乘数的第1个数字，把它逆序乘以上面乘数的每一个数字。下面乘数的其余数字也这样做。所以为了乘我们的两个6位数乘数，我们必须做36次乘法操作。我们还需要做10或11次列的加法操作来得到最终结果。

如果我们有两个100位数相乘，我们需要做10,000次乘法操作和200次加法操作。两个100万位数相乘，我们需要做1万亿(1012)次乘法操作和200万次加法操作。

作为n平方的算法衡量尺度，这就是O(n2)，即平方复杂度(quadratic
complexity)。现在是时候介绍另一个重要概念了：

我们只关心复杂度最重要的部分。

敏锐的人可能已意识到，我们可以把操作次数表示为：n2 +
2n。但正如你所看到的，我们的两个100万位数相乘的例子，第二个 2n 无关紧要（在那个阶段，2n只占操作总量的0.0002%）。

有人注意到我们在这里假设场景为最坏的情况。当我们做6位数乘法时，如果其中一个是4位数另一个是6位数，那么我们只需做24次乘法操作。然而，对于那个’n'，我们仍然计算最坏情况，即乘数都是6位数的情况。因此，大O符号是关于一个算法的最坏情况的。