[数算]研究了一天的《N个球放M个盒子问题》~~~~~~~~~~~~8种情况全部用公式解决
2015-06-26 20:18
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转载自:http://bbs.qzzn.com/read-htm-tid-14856448.html
一、序言
这个“N个球放M盒子问题”是很经典的排列组合了，论坛上也有经典的8种情况的解法。
论坛上讨论这8种情况的，我搜索了下（点左边查看搜索结果，还是有很多人在讨论的）
看了部分搜索结果，大多都来自下面这个排列组合的牛人。
---“军团-云淡”，此人貌似非常喜欢研究排列组合，有点明白了为什么很多人叫他公式帝，因为排列组合很多都是模型，比如：全错位排列（欧拉“装错信封问题”）等等，
下面是他部分贴子汇总：
http://bbs.qzzn.com/read-htm-tid-10867122.html 见5：8道排列组合题解析
二、8种类型的公式
N球，M盒，由于球是否相同，盒是否相同，盒是否可以为空，共2^3=8种：
1、球同，盒同，盒不可以为空 Pm（N）--这符号表示部分数为m的N-分拆的个数，m是P的下标，为了好看我将大写的M弄成小写
2、球同，盒同，盒可以为空 Pm（N+M）--为什么要加M，与4为什么要在3的基础上加M是一样的，就是为了保证不为空
3、球同，盒不同，盒不可以为空 C(N-1, M-1)
4、球同，盒不同，盒可以为空 C(N+M-1, M-1)
5、球不同，盒同，盒不可以为空 S(N, M) --第二类斯特林数
6、球不同，盒同，盒可以为空 S (N, 1) + S(N, 2) + S(N, 3)
+ ... + S(N, M)
7、球不同，盒不同，盒不可以为空 M!
* S(N, M)
8、球不同，盒不同，盒可以为空 M^N --表示M的N次方
-------------------------------------------------------------------------------------------
三、公式解释
对以上1，2，5，6，7，8公式作解释说明，3，4不用解释了，插板法
先说：
8、球不同，盒不同，盒可以为空 M^N
不妨设这N个小球为a1 ， a2 ，…，an .首先把a1 放进盒子里，因为M个盒子是不同的，所以有M种放法，同理，a2 ，…，an放进盒子里都有M种放法，依乘法原则知不同的方案数
N = M*M*。。。M（共N个)=M^N
例8-1：8个不同的球放进3个不同的盒子里，有几种方法？
每个球都有3种选择，8个球就有3^8=6561
例8-2：某单位今年新进了3 个工作人员，可以分配到3 个部门，但每个部门至多只能接收2 个人，问：共有几种不同的分配方案？
A．12 B．16 C．24 D．以上都不对
3^3-3=24
--------------------------------------------------------------------
接下来说：
1、球同，盒同，盒不可以为空 Pm（N）
2、球同，盒同，盒可以为空 Pm（N+M）
----------------------------------------------
首先要记得：
P1（n）=1 ， Pn（n）=1， Pn-1（n）=1
P2（n）=[n/2] --[]表示不超过n/2的最大整数
Pn+1（n）=0 --或者表示没意义，因为n个球要放到n+1个盒子中，又不允许为空，没意义。
公式：Pm（N）=P1(N-m)+P2(N-m)+P3(N-m)+......+Pm(N-m)
------(共M项）
有人可能会说上面这几个都难得记，你只要明白拆分或结合实际意思就容易知道了，比如Pn（n）=1，n个球放n个盒子，每个盒子又不能为空，肯定只有1种。
--------------------------------------------------------------------------------
例2-1：7个相同球放入4个相同盒子，每盒至少一个，有多少种放法？
方法一，公式法。
代入公式：Pm（N）=P1(N-m)+P2(N-m)+P3(N-m)+......+Pm(N-m)
P4(7)=P1(3)+P2(3)+P3(3)-------P4(3)，没意义省去
=1+1+1
=3,故有3种
方法二，拆数法。
1、先每个盒子放一个，还剩下3个球；
2、把“3”这个数拆成4个数（因为4个盒子）有如下：
3000 2100 1110---------拆数时不考虑顺序
---------------------------------------------------------------------------------------
例1-1：7个相同球放入4个相同盒子，可以空盒，有多少种放法？
方法一，公式法。
代入公式：Pm（N）=P1(N-m)+P2(N-m)+P3(N-m)+......+Pm(N-m)
P4(7+4)= P4(11)
=P1(7)+P2(7) +P3(7) +P4(7)
=1+3+(P1(4)+ P2(4)+ P3(4))+( P1(3)+ P2(3)+ P3(3)+ P4(3))
=1+3+(1+2+1)+(1+1+1+0)
=4+4+3
=11，故有11种
方法二，拆数法。
1、先借4个球来，每个盒子放一个，还剩下7个球；
2、把“7”这个数拆成4个数（因为4个盒子）有如下：
0007 0016 0025 0034 0115 0124 0133 0223 1114 1123 1222
--------------------------------------------------------------------------------
例2-2：10个相同的小球放进5个相同的盒子，使得无一空盒，共有多少种放法？
解析：
10个放了5个，还有5个。
5个放到1个盒，放到2个盒，放到3个盒。。。。放到5个盒，列式：
P5(10)
=P1(5)+P2(5)+P3(5)+P4(5)+P5(5)
=1+2+[P1(2)+P2(2)]+1+1
=1+2+[1+1]+1+1
=7
--------------------------------------------------------------------------------
最后来说复杂的：
5、球不同，盒同，盒不可以为空 S(N, M)
6、球不同，盒同，盒可以为空 S (N, 1) + S(N, 2) + S(N, 3)
+ ... + S(N, M)
7、球不同，盒不同，盒不可以为空 M!
* S(N, M)
--------------------------------------------------------------------------------
上面就是传说的：第二类斯特林数（第二类Stirling数）----可以百度下
S(N, M)表示什么意思呢？就是第N行M列的数字，例如S(7,
3) 就是第7行第3个数字。
--------------------------------------------------------------------------------
例5-1：8个不同的球放进3个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法？
公式法：S(N, M)=S(8, 3)。第8行的第3列，对着表格找相应的数为966
--------------------------------------------------------------------------------
例6-1：8个不同的球放进3个相同的盒子里，有几种方法 ？
公式法： S(8,3)=S
(8, 1) + S(8, 2) + S(8, 3)=1+127+966=1094。即为第8行前3列的和。
注：这种类型结合第8种更简单些，在例8-1中，3个元素都相异，比如116，一共有6种排列（球是不同的），此问中，盒子是相同的，因此这6种排列都只算一种情况。 但如果2个元素相同的时候，有且只有
008，只有3种排列，我们多添加3种进去，令其也重复6次，则（6561+3）就是所有的情况都重复了6次，（6561+3）/6=1094即为所求。
--------------------------------------------------------------------------------
例7-1：8个不同的球放进3个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法 ？
公式：M!
* S(N, M)=3！*S(8, 3)=6*966=5796
例7-2：4名教师分派到3所中学任教，每所至少1名教师，则有不同的分派方案多少种？
公式：M!
* S(N, M)=3！*S(4,
3)=6*6=36
--------------------------------------------------------------------------------
现在剩下怎么记上面这个表格了，其实记这个表格非常简单：
1、先写好行号1---9和列号1---9。
2、然后前3个数字写1。
4、左右两边都是1，第几行就有几个数，比如第5行就是1XXX1。
5、 S(r, c)
= S(r-1,c-1) + c * S(r-1, c)，含义是第r排的第c个数等于他上一排的上一个位置数字加上一排的同样位置数字的c倍（对着上表的行号和列号看，很容易记）。r=row,c=column.
例如S(7, 3) 就是第7排第3个数字，所以他等于上排第6排第2个数字+第6排第3个位置*3。
所以画图的话，明显第1排是1，第2排1，1，推理第3排（左右两边都是1，只有中间那个数字没确定）。
所以 S(3, 2)
= 第2排第1个数字+第2排第2个数字*2 =
1+1*2 = 3，所以第3排数字就是1，3，1。同理 S(4,
2) = S(3, 1)+ 2S(3, 2) = 1+2*3 = 7, ... 如此类推。
--------------------------------------------------------------------------------
四、练习题
1、8个相同的球放进4个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法 ？
2、8个相同的球放进4个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法 ？
3、8个不同的球放进4个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法 ？
4、8个不同的球放进4个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法
？
5、8个相同的球放进4个相同的盒子里，有几种方法
？
6、8个相同的球放进4个不同的盒子里，有几种方法 ？
7、8个不同的球放进4个不同的盒子里，有几种方法
？
8、8个不同的球放进4个相同的盒子里，有几种方法 ？
9、8个不同的球平均分给4个小朋友，有几种分法 ？
10、8个不同的球平均分成4堆，有几种分法 ？
--------------------------------------------------------------------------------
下面是我做的，不一定是正确答案，大家可以先做了对一下结果，不同再讨论下：
1、8个相同的球放进4个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法 ？
公式：球相同，盒相同，拆分公式。
P4(8)=P1(4)+P2(4)+P3(4)+P4(4)
=1+2+1+1
=5
2、8个相同的球放进4个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法 ？
公式：球相同，盒不同，插板法。
C(8-1,4-1)
=C(7,3)
=7*6*5/6
=35
3、8个不同的球放进4个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法 ？
公式：球不同，盒不同，不为空，阶乘和二类斯特林数，球是行号，盒子是列号。
M!*S(N,M)
=4! * S(8,4)
=24*1701
=40824
4、8个不同的球放进4个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法 ？
公式：球不同，盒同，二类斯特林数，为空是累加，不为空是直接取数，球是行号，盒子是列号。
S(N,M)
=S(8,4)
=1701
5、8个相同的球放进4个相同的盒子里，有几种方法 ？
公式：球同，盒同，为空，拆分公式。
P4(8+4)=P4(12)
=P1(8)+P2(8)+P3(8)+P4(8)
=1+4+(P1(5)+P2(5)+P3(5))+(P1(4)+P2(4)+P3(4)+P4(4))
=1+4+(1+2+(P1(2)+P2(2))+(1+2+1+1)
=1+4+5+5
=15
6、8个相同的球放进4个不同的盒子里，有几种方法 ？
公式：球同，盒不同，插板法。
C(11,3)
=11*10*9/6=15*11=165
7、8个不同的球放进4个不同的盒子里，有几种方法 ？
公式：球不同，盒不同，为空，直接是M^N
4^8=4^4*4^4=2^8*2^8=256*256=65536
8、8个不同的球放进4个相同的盒子里，有几种方法 ？
公式：球不同，盒同，二类斯特林数，为空，是累加
S (N, 1) + S(N, 2) + S(N, 3) + ... + S(N, M)
=S（8,1)+S（8,2)+S（8,3)+S（8,4)
=1+127+966+1701
=2795
9、8个不同的球平均分给4个小朋友，有几种分法 ？
从8个球中取2个分给第1个小朋友，从剩下6个中取2个来分给第二个小朋友。。。
C(8,2)*C(6,2)*C(4,2)*C(2,2) = 2520
10、8个不同的球平均分成4堆，有几种分法 ？
C(8,2)*C(6,2)*C(4,2)*C(2,2) / 4!= 2520/24 =105
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疑问：用“军团-云淡”的“按取球多寡来分类讨论”的拆数法怎么做以下的题：
1、8个相同的球放进4个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法 ？
5、8个相同的球放进4个相同的盒子里，有几种方法 ？
一、序言
这个“N个球放M盒子问题”是很经典的排列组合了，论坛上也有经典的8种情况的解法。
论坛上讨论这8种情况的，我搜索了下（点左边查看搜索结果，还是有很多人在讨论的）
看了部分搜索结果，大多都来自下面这个排列组合的牛人。
---“军团-云淡”，此人貌似非常喜欢研究排列组合，有点明白了为什么很多人叫他公式帝，因为排列组合很多都是模型，比如：全错位排列（欧拉“装错信封问题”）等等，
下面是他部分贴子汇总：
http://bbs.qzzn.com/read-htm-tid-10867122.html 见5：8道排列组合题解析
二、8种类型的公式
N球，M盒，由于球是否相同，盒是否相同，盒是否可以为空，共2^3=8种：
1、球同，盒同，盒不可以为空 Pm（N）--这符号表示部分数为m的N-分拆的个数，m是P的下标，为了好看我将大写的M弄成小写
2、球同，盒同，盒可以为空 Pm（N+M）--为什么要加M，与4为什么要在3的基础上加M是一样的，就是为了保证不为空
3、球同，盒不同，盒不可以为空 C(N-1, M-1)
4、球同，盒不同，盒可以为空 C(N+M-1, M-1)
5、球不同，盒同，盒不可以为空 S(N, M) --第二类斯特林数
6、球不同，盒同，盒可以为空 S (N, 1) + S(N, 2) + S(N, 3)
+ ... + S(N, M)
7、球不同，盒不同，盒不可以为空 M!
* S(N, M)
8、球不同，盒不同，盒可以为空 M^N --表示M的N次方
-------------------------------------------------------------------------------------------
三、公式解释
对以上1，2，5，6，7，8公式作解释说明，3，4不用解释了，插板法
先说：
8、球不同，盒不同，盒可以为空 M^N
不妨设这N个小球为a1 ， a2 ，…，an .首先把a1 放进盒子里，因为M个盒子是不同的，所以有M种放法，同理，a2 ，…，an放进盒子里都有M种放法，依乘法原则知不同的方案数
N = M*M*。。。M（共N个)=M^N
例8-1：8个不同的球放进3个不同的盒子里，有几种方法？
每个球都有3种选择，8个球就有3^8=6561
例8-2：某单位今年新进了3 个工作人员，可以分配到3 个部门，但每个部门至多只能接收2 个人，问：共有几种不同的分配方案？
A．12 B．16 C．24 D．以上都不对
3^3-3=24
--------------------------------------------------------------------
接下来说：
1、球同，盒同，盒不可以为空 Pm（N）
2、球同，盒同，盒可以为空 Pm（N+M）
----------------------------------------------
首先要记得：
P1（n）=1 ， Pn（n）=1， Pn-1（n）=1
P2（n）=[n/2] --[]表示不超过n/2的最大整数
Pn+1（n）=0 --或者表示没意义，因为n个球要放到n+1个盒子中，又不允许为空，没意义。
公式：Pm（N）=P1(N-m)+P2(N-m)+P3(N-m)+......+Pm(N-m)
------(共M项）
有人可能会说上面这几个都难得记，你只要明白拆分或结合实际意思就容易知道了，比如Pn（n）=1，n个球放n个盒子，每个盒子又不能为空，肯定只有1种。
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例2-1：7个相同球放入4个相同盒子，每盒至少一个，有多少种放法？
方法一，公式法。
代入公式：Pm（N）=P1(N-m)+P2(N-m)+P3(N-m)+......+Pm(N-m)
P4(7)=P1(3)+P2(3)+P3(3)-------P4(3)，没意义省去
=1+1+1
=3,故有3种
方法二，拆数法。
1、先每个盒子放一个，还剩下3个球；
2、把“3”这个数拆成4个数（因为4个盒子）有如下：
3000 2100 1110---------拆数时不考虑顺序
---------------------------------------------------------------------------------------
例1-1：7个相同球放入4个相同盒子，可以空盒，有多少种放法？
方法一，公式法。
代入公式：Pm（N）=P1(N-m)+P2(N-m)+P3(N-m)+......+Pm(N-m)
P4(7+4)= P4(11)
=P1(7)+P2(7) +P3(7) +P4(7)
=1+3+(P1(4)+ P2(4)+ P3(4))+( P1(3)+ P2(3)+ P3(3)+ P4(3))
=1+3+(1+2+1)+(1+1+1+0)
=4+4+3
=11，故有11种
方法二，拆数法。
1、先借4个球来，每个盒子放一个，还剩下7个球；
2、把“7”这个数拆成4个数（因为4个盒子）有如下：
0007 0016 0025 0034 0115 0124 0133 0223 1114 1123 1222
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例2-2：10个相同的小球放进5个相同的盒子，使得无一空盒，共有多少种放法？
解析：
10个放了5个，还有5个。
5个放到1个盒，放到2个盒，放到3个盒。。。。放到5个盒，列式：
P5(10)
=P1(5)+P2(5)+P3(5)+P4(5)+P5(5)
=1+2+[P1(2)+P2(2)]+1+1
=1+2+[1+1]+1+1
=7
--------------------------------------------------------------------------------
最后来说复杂的：
5、球不同，盒同，盒不可以为空 S(N, M)
6、球不同，盒同，盒可以为空 S (N, 1) + S(N, 2) + S(N, 3)
+ ... + S(N, M)
7、球不同，盒不同，盒不可以为空 M!
* S(N, M)
--------------------------------------------------------------------------------
| S2（N ，M） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 1 | 1 | ||||||||
| 2 | 1 | 1 | |||||||
| 3 | 1 | 3 | 1 | ||||||
| 4 | 1 | 7 | 6 | 1 | |||||
| 5 | 1 | 15 | 25 | 10 | 1 | ||||
| 6 | 1 | 31 | 90 | 65 | 15 | 1 | |||
| 7 | 1 | 63 | 301 | 350 | 140 | 21 | 1 | ||
| 8 | 1 | 127 | 966 | 1701 | 1050 | 266 | 28 | 1 | |
| 9 | 1 | 255 | 3025 | 7770 | 6951 | 2646 | 462 | 36 | 1 |
S(N, M)表示什么意思呢？就是第N行M列的数字，例如S(7,
3) 就是第7行第3个数字。
--------------------------------------------------------------------------------
例5-1：8个不同的球放进3个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法？
公式法：S(N, M)=S(8, 3)。第8行的第3列，对着表格找相应的数为966
--------------------------------------------------------------------------------
例6-1：8个不同的球放进3个相同的盒子里，有几种方法 ？
公式法： S(8,3)=S
(8, 1) + S(8, 2) + S(8, 3)=1+127+966=1094。即为第8行前3列的和。
注：这种类型结合第8种更简单些，在例8-1中，3个元素都相异，比如116，一共有6种排列（球是不同的），此问中，盒子是相同的，因此这6种排列都只算一种情况。 但如果2个元素相同的时候，有且只有
008，只有3种排列，我们多添加3种进去，令其也重复6次，则（6561+3）就是所有的情况都重复了6次，（6561+3）/6=1094即为所求。
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例7-1：8个不同的球放进3个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法 ？
公式：M!
* S(N, M)=3！*S(8, 3)=6*966=5796
例7-2：4名教师分派到3所中学任教，每所至少1名教师，则有不同的分派方案多少种？
公式：M!
* S(N, M)=3！*S(4,
3)=6*6=36
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现在剩下怎么记上面这个表格了，其实记这个表格非常简单：
1、先写好行号1---9和列号1---9。
2、然后前3个数字写1。
4、左右两边都是1，第几行就有几个数，比如第5行就是1XXX1。
5、 S(r, c)
= S(r-1,c-1) + c * S(r-1, c)，含义是第r排的第c个数等于他上一排的上一个位置数字加上一排的同样位置数字的c倍（对着上表的行号和列号看，很容易记）。r=row,c=column.
例如S(7, 3) 就是第7排第3个数字，所以他等于上排第6排第2个数字+第6排第3个位置*3。
所以画图的话，明显第1排是1，第2排1，1，推理第3排（左右两边都是1，只有中间那个数字没确定）。
所以 S(3, 2)
= 第2排第1个数字+第2排第2个数字*2 =
1+1*2 = 3，所以第3排数字就是1，3，1。同理 S(4,
2) = S(3, 1)+ 2S(3, 2) = 1+2*3 = 7, ... 如此类推。
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四、练习题
1、8个相同的球放进4个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法 ？
2、8个相同的球放进4个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法 ？
3、8个不同的球放进4个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法 ？
4、8个不同的球放进4个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法
？
5、8个相同的球放进4个相同的盒子里，有几种方法
？
6、8个相同的球放进4个不同的盒子里，有几种方法 ？
7、8个不同的球放进4个不同的盒子里，有几种方法
？
8、8个不同的球放进4个相同的盒子里，有几种方法 ？
9、8个不同的球平均分给4个小朋友，有几种分法 ？
10、8个不同的球平均分成4堆，有几种分法 ？
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下面是我做的，不一定是正确答案，大家可以先做了对一下结果，不同再讨论下：
1、8个相同的球放进4个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法 ？
公式：球相同，盒相同，拆分公式。
P4(8)=P1(4)+P2(4)+P3(4)+P4(4)
=1+2+1+1
=5
2、8个相同的球放进4个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法 ？
公式：球相同，盒不同，插板法。
C(8-1,4-1)
=C(7,3)
=7*6*5/6
=35
3、8个不同的球放进4个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法 ？
公式：球不同，盒不同，不为空，阶乘和二类斯特林数，球是行号，盒子是列号。
M!*S(N,M)
=4! * S(8,4)
=24*1701
=40824
4、8个不同的球放进4个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法 ？
公式：球不同，盒同，二类斯特林数，为空是累加，不为空是直接取数，球是行号，盒子是列号。
S(N,M)
=S(8,4)
=1701
5、8个相同的球放进4个相同的盒子里，有几种方法 ？
公式：球同，盒同，为空，拆分公式。
P4(8+4)=P4(12)
=P1(8)+P2(8)+P3(8)+P4(8)
=1+4+(P1(5)+P2(5)+P3(5))+(P1(4)+P2(4)+P3(4)+P4(4))
=1+4+(1+2+(P1(2)+P2(2))+(1+2+1+1)
=1+4+5+5
=15
6、8个相同的球放进4个不同的盒子里，有几种方法 ？
公式：球同，盒不同，插板法。
C(11,3)
=11*10*9/6=15*11=165
7、8个不同的球放进4个不同的盒子里，有几种方法 ？
公式：球不同，盒不同，为空，直接是M^N
4^8=4^4*4^4=2^8*2^8=256*256=65536
8、8个不同的球放进4个相同的盒子里，有几种方法 ？
公式：球不同，盒同，二类斯特林数，为空，是累加
S (N, 1) + S(N, 2) + S(N, 3) + ... + S(N, M)
=S（8,1)+S（8,2)+S（8,3)+S（8,4)
=1+127+966+1701
=2795
9、8个不同的球平均分给4个小朋友，有几种分法 ？
从8个球中取2个分给第1个小朋友，从剩下6个中取2个来分给第二个小朋友。。。
C(8,2)*C(6,2)*C(4,2)*C(2,2) = 2520
10、8个不同的球平均分成4堆，有几种分法 ？
C(8,2)*C(6,2)*C(4,2)*C(2,2) / 4!= 2520/24 =105
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疑问：用“军团-云淡”的“按取球多寡来分类讨论”的拆数法怎么做以下的题：
1、8个相同的球放进4个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法 ？
5、8个相同的球放进4个相同的盒子里，有几种方法 ？
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