标准正态分布随机变量的倒数的分布

背景

看到有人在问这个问题，拿来算算。

自从有了CSDN-MarkDown之后，写博客舒服多了，尤其是数学公式部分。

原理

推荐的参考书是:

Schaum’s outline of Probability and Statistics, 3rd Edition, 2009; 科学出版社2002年翻译出版了该书的第二版，所以有中文版。

Continuous Variables

Theorem 1. Let XX be a continuous random variable with probability density f(x)f(x). Let us define U=ϕ(X)U=\phi(X) , where X=ψ(U)=ϕ−1(U)X=\psi(U)=\phi^{-1}(U)(反函数存在). Then the probability density of UU is given by g(u)g(u), where:

g(u)|du|=f(x)|dx|g(u)\left|{\rm{d}}u\right|=f(x)\left|{\rm{d}}x\right|

or

g(u)=f(x)∣∣∣dxdu∣∣∣=f[ϕ−1(u)]∣∣ψ′(u)∣∣g(u)=f(x)\left|\frac{dx}{du}\right|=f[\phi^{-1}(u)]\left|\psi'(u)\right|

当连续随机变量是多维的情况下，联合分布密度函数是多元函数，这时候绝对值符号内对应于雅可比行列式。

Theorem 2. Let XX and YY be continuous random variables having joint density function f(x,y)f(x,y). Let us define U=ϕ1(X,Y)U=\phi_1(X,Y), V=ϕ2(X,Y)V=\phi_2(X,Y), where X=ψ1(U,V),Y=ψ2(U,V)X=\psi_1(U,V), Y=\psi_2(U,V). Then the joint density function of UU adn VV is given by g(u,v)g(u,v), where:

g(u,v)|dudv|=f(x,y)|dxdy|g(u,v)\left|{\rm d}u\;{\rm d}v\right|=f(x,y)\left|{\rm d}x{\rm d}y\right|

or

g(u,v)=f(x,y)∣∣∣∂(x,y)∂(u,v)∣∣∣=f(ψ1(u,v),ψ2(u,v))∣∣∣∣∣⎛⎝⎜⎜⎜∣∣∣∣∣∂ψ1∂u∂ψ2∂u∂ψ1∂v∂ψ2∂v∣∣∣∣∣Jacobian⎞⎠⎟⎟⎟∣∣∣∣∣absg(u,v)=f(x,y)\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|=f(\psi_1(u,v),\psi_2(u,v))\left| \left(\;\;\left|\begin{array}{cc}
\frac{\partial \psi_1}{\partial u} & \frac{\partial \psi_1}{\partial v} \\
\frac{\partial \psi_2}{\partial u} & \frac{\partial \psi_2}{\partial v} \\
\end{array}\right|_{\rm Jacobian}\;\;\right)\right|_{\rm abs}

提示：“复合”函数ϕi\phi_i的“反函数”ψi\psi_i解析表达式存在很关键；函数ϕi\phi_i在计算中反而并未出现。

举例

Example 设XX服从标准正态分布，则Y=1XY=\dfrac{1}{X}服从何种分布（求概率密度函数）？如果存在，计算YY的数学期望。

解：

直接套用 定理1 即可。

标准正态分布的概率密度函数：

f(x)=12π−−√e−x22f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\tfrac{x^2}{2}}, 以及:

y=ϕ(x)=1x,x=ϕ−1(y)=ψ(y)=1y,y=\phi(x)=\dfrac{1}{x}, x=\phi^{-1}(y)=\psi(y)=\dfrac{1}{y},

从而YY的概率密度函数：

g(y)=f(x)∣∣∣dxdy∣∣∣=f(ϕ−1(y))∣∣∣∣∣∣d(1y)dy∣∣∣∣∣∣=e−12y22π−−√y2g(y)=f(x)\left|\dfrac{{\rm d}x}{{\rm d}y}\right|=f(\phi^{-1}(y))\left|\dfrac{d\left(\dfrac{1}{y}\right)}{dy}\right|=\frac{e^{-\tfrac{1}{2 y^2}}}{\sqrt{2 \pi } y^2}

用Mathematica比较下两个分布密度函数：

[code]Plot[{E^(-(1/(2 x^2)))/(Sqrt[2 \[Pi]] x^2),E^(-(x^2/2))/Sqrt[2 \[Pi]]},{x,-5,5},PlotStyle->{Blue,Red},PlotPoints->150,AxesOrigin->{0,-.02},AxesStyle->Arrowheads[0.02],AxesLabel->{x,y},LabelStyle->Directive[Black,14,FontFamily->"Times"],TicksStyle->Directive[Black,14],AxesStyle->Directive[Black, 12],PlotLegends->{1/x,x}]

图中红色为标准正态概率密度函数，蓝色为其倒数对应随机变量的概率密度函数。看上去即有些意外，又很无可厚非。



E(Y)=12π−−√lima→+∞∫a−ae−12y2ydy=0{\rm E}\left(Y\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi }}\lim_{a\rightarrow+\infty}\int_{-a}^{a}{\frac{e^{-\tfrac{1}{2 y^2}}}{ y}}{\rm d}y=0

y=0y=0 这个点有些特殊，似乎会导致被积函数无意义；不过从双侧极限 y→±0y\rightarrow \pm 0 的角度，在y=0y=0被积函数极限都为00。挖掉 y=0y=0，因为数学期望的被积函数都是奇函数，在对称的区间上积分时总是得到 00、从而新随机变量的数学期望也是 00，虽然看上去去掉了一个离散点不太光彩，却暂且是明智的处理方法。——去掉有限多个第一类可去间断点，不影响大局。