Matlab数值计算差商与插值

均差定义 若已知函数f(x)f(x)在点x0,x1,...xnx_0,x_1,...x_n处的值f(x0),f(x1),...f(xn).f(x_0),f(x_1),...f(x_n).如果i≠j,i≠j,则

一阶均差f[xj,xj+1]=f(xj+1)−f(xj)xj+1−xj(j=0,1,...n−1)f[x_j,x_{j+1}]=\frac{f(x_{j+1})-f(x_j)}{x_{j+1}-x_j}(j=0,1,...n-1)

二阶均差f[xj,xj+1,xj+2]=f[xj+1,xj+2]−f[xj,xj+1]xj+2−xj(j=0,1,...n−2)f[x_j,x_{j+1},x_{j+2}]=\frac{f[x_{j+1},x_{j+2}]-f[x_j,x_{j+1}]}{x_{j+2}-x_j}(j=0,1,...n-2)

n阶均差f[x0,x1,...,xn]=f[x1,...,xn]−f[x0,...,xn−1]xn−x0f[x_0,x_1,...,x_n]=\frac{f[x_1,...,x_n]-f[x_0,...,x_{n-1}]}{x_n-x_0}

例 由函数表求各阶均差

x	-2	-1	0	1	3
y	-56	-16	-2	-2	4

解：按公式计算一阶差商、二阶差商、三阶差商如下

x	f(x)	一阶差商	二阶差商	三阶差商
-2	-56
-1	-16	40
0	-2	14	-13
1	-2	0	-7	2
3	4	3	1	2

Matlab代码

clear
clc
x=[-2 -1 0 1 3]
y=[-56 -16 -2 -2 4]
deltx=diff(x);
delty=diff(y);
firstorder=delty./deltx %一阶
for i=1:length(x)-2
delt2x(i)=x(i+2)-x(i);
end
delt2y=diff(firstorder);
secondorder=delt2y./delt2x %二阶
for i=1:length(x)-3
delt3x(i)=x(i+3)-x(i);
end
delt3y=diff(secondorder);
thirdorder=delt3y./delt3x %三阶
for i=1:length(x)-4
delt4x(i)=x(i+4)-x(i);
end
delt4y=diff(thirdorder);
fourorder=delt4y./delt4x %四阶

结果

x =

-2    -1     0     1     3

y =

-56   -16    -2    -2     4

firstorder =

40    14     0     3

secondorder =

-13    -7     1

thirdorder =

2     2

fourorder =

0

这里用到了diff，就再次介绍一下差分函数

补充：差分函数diff

diff(X) X为向量时(行列均可)，计算相邻两数的差[X(2)-X(1) X(3)-X(2) … X(n)-X(n-1)]

diff(X) X为矩阵时,计算矩阵的2~n行与1~n-1行的差，[X(2:n,:) - X(1:n-1,:)]

diff(X,N) 对上面函数diff(X)的扩充，这里的N指定N阶差分，二阶差分是对一阶差分的结果再做差分运算

DIFF(X,N,DIM) 对上面函数diff(X,N)的扩充，DIM取1或2，取1时按行差分，与上面结果一样，取2时按列差分

把上面的命令用字符串改造了一下，不过太难看懂了,no zuo no die

eval()函数的功能就是将括号内的字符串视为语句并运行，简单记为字符串转语句

num2str()函数的功能就是将括号内的数字转换为字符串，简单记为数字转字符串

clear
clc
x=[-2 -1 0 1 3]
y=[-56 -16 -2 -2 4]
deltx=diff(x);
delty=diff(y);
order1=delty./deltx %一阶
for j=2:4
str=['for i=1:length(x)-',num2str(j),char(10)];
str=[str,'delt',num2str(j),'x(i)=x(i+',num2str(j),')-x(i);',char(10)];
str=[str,'end',char(10)];
str=[str,'delt',num2str(j),'y=diff(order',num2str(j-1),');',char(10)];
str=[str,'order',num2str(j),'=delt',num2str(j),'y./delt',num2str(j),'x',char(10)];
eval(str)
end

结果

x =

-2    -1     0     1     3

y =

-56   -16    -2    -2     4

order1 =

40    14     0     3

order2 =

-13    -7     1

order3 =

2     2

order4 =

0

牛顿插值

牛顿插值公式及其余项

当n=1n=1时：

差商N1(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)N_1(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)

余项R1(x)=f[x,x0,x1](x−x0)(x−x1)R_1(x)=f[x,x_0,x_1](x-x_0)(x-x_1)

当n=2n=2时：

差商N2(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)N_2(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)

余项R2(x)=f[x,x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)(x−x2)R_2(x)=f[x,x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)

nn阶：

差商Nn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)N_n(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)

+f[x0,x1,...,xn](x−x0)(x−x1)...(x−xn−1)+f[x_0,x_1,...,x_n](x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{n-1})

余项Rn(x)=f[x,x0,x1,...,xn](x−x0)(x−x1)...(x−xn)R_n(x)=f[x,x_0,x_1,...,x_n](x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)

例 已知x=1,4,9x=1,4,9的平方根为1,2,3,1,2,3,利用牛顿基本差商公式7√\sqrt 7的值

解:

xix_i	xi−−√\sqrt {x_i}	f[xi,xi+1]f[x_i,x_{i+1}]	f[xi,xi+1,xi+2]f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]
1	1
4	2	2−14−1=0.33333\frac{2-1}{4-1}=0.33333
9	3	3−29−4=0.2\frac{3-2}{9-4}=0.2	0.2−0.333339−1=−0.016\frac{0.2-0.33333}{9-1}=-0.016

从而得二阶牛顿基本差商公式为

P2(x)=1+0.33333(x−1)−0.01667(x−1)(x−4)P_2(x)=1+0.33333(x-1)-0.01667(x-1)(x-4)

因此计算得7√\sqrt 7的近似值为P2(7)=2.69992P_2(7)=2.69992

clear
clc
x=[1 4 9]
y=[1 2 3]
deltx=diff(x);
delty=diff(y);
order1=delty./deltx %一阶
for i=1:length(x)-2
delt2x(i)=x(i+2)-x(i);
end
delt2y=diff(order1);
order2=delt2y./delt2x %二阶
%%牛顿插值需要的值是y(1)、order1(1)、order2(1)、x(1)、x(2)
y(1),order1(1),order2(1),x(1),x(2)
%%构造多项式
P=[0 0 y(1)]+[0 order1(1)*poly(x(1))]+order2(1)*poly(x([1:2]))
%%求值
polyval(P,7)

结果

x =

1     4     9

y =

1     2     3

order1 =

0.3333    0.2000

order2 =

-0.0167

ans =

1

ans =

0.3333

ans =

-0.0167

ans =

1

ans =

4

P =

-0.0167    0.4167    0.6000

ans =

2.7000

等距节点、差分与差商的关系

向前差分

一阶：Δf(k)=f(k+1)−f(k)\varDelta f(k)=f(k+1)-f(k)，如Δf(0)=f(1)−f(0)\varDelta f(0)=f(1)-f(0)，Δf(1)=f(2)−f(1)\varDelta f(1)=f(2)-f(1)

二阶：Δ2f(k)=Δf(k+1)−Δf(k)\varDelta ^2 f(k)=\varDelta f(k+1)-\varDelta f(k)，如Δ2f(0)=Δf(1)−Δf(0)\varDelta ^2 f(0)=\varDelta f(1)-\varDelta f(0)，Δ2f(1)=Δf(2)−Δf(1)\varDelta ^2 f(1)=\varDelta f(2)-\varDelta f(1)

三阶：Δ3f(k)=Δ2f(k+1)−Δ2f(k)\varDelta ^3 f(k)=\varDelta^2 f(k+1)-\varDelta^2 f(k)，如Δ3f(0)=Δ2f(1)−Δ2f(0)\varDelta ^3 f(0)=\varDelta^2 f(1)-\varDelta^2 f(0)，Δ3f(1)=Δ2f(2)−Δ2f(1)\varDelta ^3 f(1)=\varDelta^2 f(2)-\varDelta^2 f(1)

一般定义：Δmf(k)=Δm−1f(k+1)−Δm−1f(k)\varDelta ^m f(k)=\varDelta^{m-1} f(k+1)-\varDelta^{m-1} f(k)，m=2,3...m=2,3...

此外还有向后差分、中心差分，这里暂时不做介绍

对于等距节点，差分与差商的关系

f[xk,xk+1,...xk+m=]=Δmf(k)m!hmf[x_k,x_{k+1},...x_{k+m}=]=\frac{\varDelta^m f(k)}{m!h^m}

所以原来的牛顿插值公式在等距节点下，写成向前差分的形式就是

差商Nn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)N_n(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)

+f[x0,x1,...,xn](x−x0)(x−x1)...(x−xn−1)+f[x_0,x_1,...,x_n](x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{n-1})

=f(x0)+Δf(0)h(x−x0)+Δ2f(0)2!h2(x−x0)(x−x0)(x−x1)=f(x_0)+\frac{\varDelta f(0)}{h}(x-x_0)+\frac{\varDelta^2 f(0)}{2!h^2}(x-x_0)(x-x_0)(x-x_1)

+Δnf(0)n!hn(x−x0)(x−x1)...(x−xn−1)+\frac{\varDelta^n f(0)}{n!h^n}(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{n-1})