动态规划之矩阵链乘问题
2015-06-17 20:35
267 查看
本文主要介绍动态规划思想介绍矩阵链乘问题:
首先介绍会用到的几个名词:
1.完全括号化(fully parenthesized)的矩阵乘积链表示的是它是单一矩阵,或者是由两个完全括号化的矩阵乘积链的积,且已外加括号。如(A1(A2A3)、((A1A2)A3);但是(A1A2A3)则不是。
2.矩阵链乘问题(matrix-chain multiplication problem):给定n个矩阵的链(A1A2...An),矩阵Ai的规模是pi-1Xpi(1<=i<=n),求完全括号化方案,使得计算乘积A1A2...An所需标量乘法次数最少。
应用动态规划方法求解矩阵链的最优括号化方案,按照书中给出的四个步骤进行。
Step1:刻画一个最优解的结构特征。-------最优括号化方案的结构特征。
用符号Ai..j(i<=j)表示AiAi+1...Aj乘积的结果矩阵。i=j的时候,结果为0;当i<j的时候,则为了对AiAi+1...Aj进行完全括号化,则必须在某个Ak和Ak+1直接将矩阵链划分开(k为i<=k<j间的整数)。也就是说,对某个整数k,把计算Ai..j的代价等价于先计算Ai..k和Ak+1..j的代价,然后再加上这两个矩阵相乘的代价即可。
总之就是找下看结果的一些结构特征。
Step2:递归地定义最优解的值。-------矩阵链乘的一个递归求解方案。
对矩阵链乘法问题,可以把所有的1<=i<=j<=n确定AiAi+1...Aj的最小代价括号化方案作为子问题。令m[i,j]表示计算矩阵Ai..j所需标量乘法次数的最小值。那么原问题的最优解--计算A1..n所需的最低代价就是m[1,n]。
当i=j(i=1,2..n)时定义m[i,j]=0。
当i<j时,可以利用Step1中得到的最优子结构来计算m[i,j],则m[i,j]=min{m[i,k]+m[k+1,j]+pi-1XpkXpj}。(i<=k<j)
此递归公式是假设最优分割点k是已知的,但是实际上并不知道,选择的k的分割位置应该是使得m[i,j]的值最小。在计算m[i,j]的时候k可以取到i,i+1,i+2...j-1等共j-i个方案,从这些方案中选出那个使得m[i,j]值小的k,作为计算m[i,j]的分割点。
Step3:计算最优解的值,通常采用自底向上的方法。
采用自底向上表格法代替基于Step2中提到的计算公式。
输入:表示n个矩阵大小规模的序列p=(p0,p1...pn),p的长度是n+1.
输出:第一个是矩阵m,m[i,j]表示计算矩阵Ai..j所需标量乘法次数的最小值。
第二个是矩阵s,s[i,j]中记录的是计算过程中取m[i,j]时k的位置,即矩阵链Ai..j最佳分割点k。
《算法导论》书上给出的伪代码如下:
Step4:构造最优解。
有了矩阵s,s[i,j]中记录的是计算过程中取m[i,j]时k的位置,即矩阵链Ai..j最佳分割点k。那么通过先看s
记得矩阵A1..n的分割点k,然后再分别看计算A1..k和Ak+1..n的分割位置。
输入是矩阵s和想要搜索的区域i,j。采用递归的方式打印最优解的结果,最开始的时候i=1,j=n.
《算法导论》书上给出的伪代码如下:
首先介绍会用到的几个名词:
1.完全括号化(fully parenthesized)的矩阵乘积链表示的是它是单一矩阵,或者是由两个完全括号化的矩阵乘积链的积,且已外加括号。如(A1(A2A3)、((A1A2)A3);但是(A1A2A3)则不是。
2.矩阵链乘问题(matrix-chain multiplication problem):给定n个矩阵的链(A1A2...An),矩阵Ai的规模是pi-1Xpi(1<=i<=n),求完全括号化方案,使得计算乘积A1A2...An所需标量乘法次数最少。
应用动态规划方法求解矩阵链的最优括号化方案,按照书中给出的四个步骤进行。
Step1:刻画一个最优解的结构特征。-------最优括号化方案的结构特征。
用符号Ai..j(i<=j)表示AiAi+1...Aj乘积的结果矩阵。i=j的时候,结果为0;当i<j的时候,则为了对AiAi+1...Aj进行完全括号化,则必须在某个Ak和Ak+1直接将矩阵链划分开(k为i<=k<j间的整数)。也就是说,对某个整数k,把计算Ai..j的代价等价于先计算Ai..k和Ak+1..j的代价,然后再加上这两个矩阵相乘的代价即可。
总之就是找下看结果的一些结构特征。
Step2:递归地定义最优解的值。-------矩阵链乘的一个递归求解方案。
对矩阵链乘法问题,可以把所有的1<=i<=j<=n确定AiAi+1...Aj的最小代价括号化方案作为子问题。令m[i,j]表示计算矩阵Ai..j所需标量乘法次数的最小值。那么原问题的最优解--计算A1..n所需的最低代价就是m[1,n]。
当i=j(i=1,2..n)时定义m[i,j]=0。
当i<j时,可以利用Step1中得到的最优子结构来计算m[i,j],则m[i,j]=min{m[i,k]+m[k+1,j]+pi-1XpkXpj}。(i<=k<j)
此递归公式是假设最优分割点k是已知的,但是实际上并不知道,选择的k的分割位置应该是使得m[i,j]的值最小。在计算m[i,j]的时候k可以取到i,i+1,i+2...j-1等共j-i个方案,从这些方案中选出那个使得m[i,j]值小的k,作为计算m[i,j]的分割点。
Step3:计算最优解的值,通常采用自底向上的方法。
采用自底向上表格法代替基于Step2中提到的计算公式。
输入:表示n个矩阵大小规模的序列p=(p0,p1...pn),p的长度是n+1.
输出:第一个是矩阵m,m[i,j]表示计算矩阵Ai..j所需标量乘法次数的最小值。
第二个是矩阵s,s[i,j]中记录的是计算过程中取m[i,j]时k的位置,即矩阵链Ai..j最佳分割点k。
《算法导论》书上给出的伪代码如下:
1 MAXTRIX_CHAIN_ORDER(p) 2 n = length[p]-1; 3 for i=1 to n 4 do m[i][i] = 0; 5 for t = 2 to n //t is the chain length 6 do for i=1 to n-t+1 7 j=i+t-1; 8 m[i][j] = MAXLIMIT; 9 for k=i to j-1 10 q = m[i][k] + m[k+1][i] + qi-1qkqj; 11 if q < m[i][j] 12 then m[i][j] = q; 13 s[i][j] = k; 14 return m and s;
Step4:构造最优解。
有了矩阵s,s[i,j]中记录的是计算过程中取m[i,j]时k的位置,即矩阵链Ai..j最佳分割点k。那么通过先看s
记得矩阵A1..n的分割点k,然后再分别看计算A1..k和Ak+1..n的分割位置。
输入是矩阵s和想要搜索的区域i,j。采用递归的方式打印最优解的结果,最开始的时候i=1,j=n.
《算法导论》书上给出的伪代码如下:
1 PRINT_OPTIMAL_PARENS(s,i,j) 2 if i== j 3 then print "Ai" 4 else 5 print "("; 6 PRINT_OPTIMAL_PARENS(s,i,s[i][j]); 7 PRINT_OPTIMAL_PARENS(s,s[i][j]+1,j); 8 print")";最后附上java代码实现动态规划矩阵链乘问题:
//和伪代码中不同的是在此输入的矩阵是A0...An-1 而伪代码中是A1...An //此处Ai的规模是p[i]*p[i+1] 而伪代码中是p[i-1]*p[i] public static int m[][]; //m[i][j]存储计算矩阵Ai到Aj相乘的最小相乘次数 public static int s[][];//s[i][j]存储计算矩阵Ai到Aj相乘的最小相乘次数时的最佳分割点k public static int n;//矩阵链中相乘矩阵的个数 public static void matrixChain(int p[]){ n=p.length-1; m=new int ; s=new int ; for(int i=0;i<n;i++){//先把单个矩阵乘积写上,即i=j时m[i][j]=0 for(int j=0;j<n;j++){ m[i][j]=0; } } for(int l=2;l<=n;l++){//l表示矩阵链乘中相乘矩阵的个数 for(int i=0;i<n-l+1;i++){ int j=i+l-1;//记录相应的j的位置 m[i][j]=999999; int q; for(int k=i;k<j;k++){ q=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i]*p[k+1]*p[j+1]; if(m[i][j]>q){ m[i][j]=q; s[i][j]=k;//记录下分割点k } } } } } public static void print(int s[][],int i,int j){ if(i==j){ System.out.print("A"+i); } else{ System.out.print("("); print(s,i,s[i][j]); print(s,s[i][j]+1,j); System.out.print(")"); } } public static void main(String[] args){ int p[] = {30,35,15,5,10,20,25}; //输入的是表示矩阵规模的一维数组 MatrixChain.matrixChain(p); System.out.println("一个矩阵链乘次数最少的方案"); MatrixChain.print(s, 0, n-1); }
相关文章推荐
- 2015 Objective-C 三大新特性
- Mac OS连接Linux
- Docker 网络实现
- 机器视觉开源代码集合
- ListView 使用方法(Asp.Net)
- 【译】发送表单数据
- 最小生成树算法(1)-----------prim
- pci设备学习笔记
- 进程间通信概述
- Python 装饰器
- Android-menu
- SQL中如何才能将查询的结果数据存在一个变量中???
- Spring IOC AOP详解(一)
- sharepoint 2013 配件控制FileUpload如何检查是否图像的方法
- 团队开发------第一次冲刺第3天
- Menu的三个实现方式
- 第15周-阅读项目1-异常处理&&命名空间
- 正则表达式
- IOS笔记050-事件处理
- 扩展C#与元编程(二)