二叉查找树(5) - 判断一棵二叉树是否为BST

在本系列的第一篇文章中，已经介绍过了二叉查找树的一些性质：

节点的左子树中任意节点值小于根节点
节点的右子树中任意节点值大于根节点
左右子树都必须是二叉查找树，不允许存在重复节点。

基于上面的这些性质，自然的就得到了这种判断方式：树中的每个节点都有一个特定的值。
假设树的节点定义为：

struct Node
{
int key;
Node *left;
Node *right;
};

方法1 (实现简单，但却是错误的)

对于每个节点，检测它的左孩子节点是否小于它，且右孩子节点是否大于它。

bool isBST(Node* node)
{
if (node == NULL)
return true;

//如果左孩子大于根节点，则不是BST
if (node->left != NULL && node->left->key> node->key)
return false;

//如果右孩子节点小于根节点，则不是BST
if (node->right != NULL && node->right->key < node->key)
return false;

//递归的判断
if (!isBST(node->left) || !isBST(node->right))
return false;

//检测完毕，所有条件通过，则是BST
return true;
}

但是，这种判断方法是错误的，如下面例子所示，节点4处于根节点3的左子树中，但是函数检测到这棵树是BST.

3

/ \

2 5

/ \

1 4

方法2 (结果正确，但是效率比较低)

对于每个节点，检测左子树中的最大值是否比它小，而右子树的最小值比它大。

//如果是BST，则返回true
bool isBST(Node * node )
{
if ( node == NULL)
return true;

//如果左子树最大值大于根节点，则返回false
if ( node->left != NULL && maxValue( node->left) > node->key)
return false;

//如果右子树最小值小于根节点，则返回false
if ( node->right != NULL && minValue( node->right) < node->key)
return false;

//递归判断
if (!isBST( node->left) || !isBST( node->right))
return( false);

//所有检测都通过，是BST
return true;
}

其中，maxValue以及minValue函数，分别返回一颗非空树中的最大值和最小值。

方法3 (正确并且有效的)

方法2因为要重复的遍历树中的部分数据，效率比较低。更好的方案是每个节点只遍历一次。 方法3的巧妙之处在于限定了子树中节点值的范围，从而每个节点只需访问一次。节点值的初始范围可限定为INT_MIN以及INT_MAX。

//判断是否为BST

bool isBST(Node* node)

{

return(isBSTUtil(node, INT_MIN, INT_MAX));

}

//如果是一颗二叉查找树，且值范围在[min,max]，则返回true

bool isBSTUtil(Node* node, int min, int max)

代码实现:

#include <iostream>

struct Node
{
int key;
Node *left;
Node *right;
};

bool isBSTUtil(Node * node, int min, int max);

//判断是否为BST
bool isBST(Node * node )
{
return(isBSTUtil( node, INT_MIN, INT_MAX));
}

//如果是一颗二叉查找树，且值范围在[min, max]，则返回true
bool isBSTUtil(Node * node , int min , int max )
{
//空树也是BST
if ( node == NULL)
return true;

//如果节点值违反了最大/最小约束条件，则不是BST
if ( node->key < min || node->key > max)
return false;

//递归检查子树
return  isBSTUtil( node->left, min, node->key - 1) &&
isBSTUtil( node->right, node->key + 1, max);
}

// 创建一个新的BST节点
Node *createNewNode(int item )
{
Node *temp = new Node;
temp->key = item;
temp->left = temp->right = NULL;
return temp;
}

int main()
{
/* tree1的定义
4
/   \
2     5
/ \
1   3
*/
Node *root = createNewNode(4);
root->left = createNewNode(2);
root->right = createNewNode(5);
root->left->left = createNewNode(1);
root->left->right = createNewNode(3);

if (isBST(root))
std::cout << "tree1 is BST\n";
else
std::cout << "tree1 is not BST\n";

/* tree2的定义
4
/   \
2     5
/     /
1     3
*/
root = createNewNode(4);
root->left = createNewNode(2);
root->left->left = createNewNode(1);
root->right = createNewNode(5);
root->right->left = createNewNode(3);

if (isBST(root))
std::cout << "tree2 is BST\n";
else
std::cout << "tree2 is not BST\n";

return 0;
}

输出：

tree1 is BST

tree2 is not BST

时间复杂度: O(n)

辅助空间 : 如果不考虑函数调用栈的大小，则为O(1)， 否则为O(n)

方法4(使用中序遍历)

1) 对树进行中序遍历，将结果保存在temp数组中。

3) 检测temp数组中元素是否为升序排列。如果是，则这棵树为BST.

时间复杂度: O(n)

方法4还可以进一步的优化，我们可以避免使用这个额外的数组。在中序遍历时，可以保存前驱节点，如果当前节点小于前驱节点，则这棵树不是BST.

//判断是否为BST
bool isBST(Node* root)
{
static Node *prev = NULL;

// 中序遍历这棵树，并保存前驱节点至prev中
if (root)
{
if (!isBST(root->left))
return false;

// 检测节点值的合法性
if (prev != NULL && root->key <= prev->key)
return false;

prev = root;

//右子树
return isBST(root->right);
}

return true;
}

更多参考:
http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_search_tree http://cslibrary.stanford.edu/110/BinaryTrees.html