一道初中数学题

前几天老婆问我一个初一数学问题，a2+b2+c2=3,a+b+c=3,求a2013+b2013+c2013=?

我简单的思考了一下可以利用

方法一：

2a+2b+2c=6a2+b2+c2=3

得到(a−1)2+(b−1)2+(c−1)2=0，从而a=b=c=1

方法二：

另外更加普遍的是利用a+b+c=3可以推出(a+b+c)2=9,从而2ab+2ac+2bc+a2+b2+c2=9,所以2ac+2ab+2ac=6,这就是初中生见得比较多的题目了，直接(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2=0,从而a=b=c=1,这是我能想到的初中方法。

方法三：

如果我们使用高中方法：在2013年湖北省理科数学填空题13题，其题目如下：

13、设x,y,z∈R,且满足x2+y2+z2=1,x+2y+3z=14−−√,则x+y+z=.

解：由柯西不等式得(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+32)=14当且仅当x=2y=3z等式成立。

与此相似，我们使用柯西不等式作为方法三，那么(a+b+c)2≤(a2+b2+c2)(12+12+12)=9,等式成立，当且仅当a=b=c成立。

方法四：向量法

向量法与柯西不等式类似，应用|x→.y→|≤|x→||y→|.

设x→=(a,b,c),y→=(1,1,1),则

a+b+c≤a2+b2+c2−−−−−−−−−−√3√=3

取等号，当且仅当x→,y→共线，所以a=b=c=1

方法五：几何法

其实本题可以出出来，主要是从几何角度去着手，其实际上是球与平面相切，于是对应的只有惟一解，此题目才成立。根据判断球与平面的关系（通过圆与直线距离推广）。

因为a2+b2+c2=3实际上是三维空间中以(0,0,0)为圆心，以3√为半径的球，那么圆心到平面a+b+c=3的距离

d=|0+0+0−3|12+12+12−−−−−−−−−−√=3√

所以可以判断平面跟球是相切的。不放设交点（实际就是方程组的解）为(x0,y0,z0),则圆在此处的切线方程为x0x+y0y+z0z=3与题目所给切线方程对比得

x0=y0=z0=1

推广

当然我们可以出很多类似的题目，只要相切即可。

比如在2维空间内，我们有

a2+b2=4a+2b=25√

a+b=65√5

在4维空间里面，我们有

a2+b2+c2+d2=5a+b+c+d=25√

可以求出a=b=c=d=5√2

难度：

(a−1)2+(b−2)2+c2+d2=1a+b+c+d=1

可以求出a=12、b=32、c=d=−12

几何法是出题目的来源，也是解这类题目的通解。