[Swust OJ 567]--老虎在不在笼子里(凸包问题)

题目链接：http://acm.swust.edu.cn/problem/567/

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一只老虎自从看了<越狱>以来,脾气就比较暴躁,而且变得神神秘密的.一天管理员发现老虎不见了,这下他可急坏了,赶紧通知了110.幸好这只老虎身上装了GPS,所以还有希望找到他.
你的任务就是通过GPS给出的老虎的坐标和笼子的坐标来让电脑计算出老虎的位置,是躲在洞里了,还是跑到外面去了.
Description

输入数据有N+2行:
第一行是一个数据N(0<=N<=12),代表了笼子的坐标X,Y的个数(X,Y都在INT范围内);
第二到N+1行是N个坐标X,Y,依次按从下逆时针的顺序来给出的.
最后一行是老虎的坐标X,Y;

注：只有一组测试数据，输入的都是整数，笼子一定是凸多边形，而且老虎也不会出现在笼子边界上

三角形的面积可以用向量的外积来计算，那么多边形是N个三角形，那么就可以。。。。。

Input

如果老虎还在笼子里,输入"YES",否则是"NO";
Output

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

4 0 0 1 0 1 1 0 1 0.5 0.5 6 1 -1 2 0 1 1 -1 1 -2 0 -1 -1 3 3

Sample Input

1 2

YES NO

Sample Output

解题思路：这道题看上去可能会以为是一个很坑的数学问题，但是仔细读题就会发现
　　　　　这道题其实就是比较笼子构成的凸包面积，和加入老虎坐标新的点集构成的新凸包的面积
　　　　　是否相等的题，相等即老虎在笼子内，反之亦然~~
　　　　　关于凸包的问题，可以戳戳这里：http://www.cnblogs.com/zyxStar/p/4540984.html

代码如下：

//只需要判断加入该点凸包面积，和笼子构成凸包面积是否相等即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<cmath>
using namespace std;
struct node{
double x, y;
}point[110], tiger[101], posA, posB, tmp;//posB老虎基准量

double dis(node a, node b){
return pow((a.x - b.y), 2) + pow((a.y - b.y), 2);
}

//按点集分布排序,利用向量平行关系判断
bool cmp(node a, node b){
double povit = (a.x - posA.x)*(b.y - posA.y) - (b.x - posA.x)*(a.y - posA.y);
if (povit > 0 || !povit && (dis(a, posA) < dis(b, posA)))
return true;
return false;
}

//当前点是否在点集左侧,利用叉乘比较3个点两条线的斜率关系
bool turn_left(node p1, node p2, node p3){
return (p2.x*p1.y + p3.x*p2.y + p1.x*p3.y - p3.x*p1.y - p1.x*p2.y - p2.x*p3.y) > 0 ? true : false;
}

int main(){
int i, sign1, sign2, n;
double area1, area2;
cin >> n;
for (i = 0; i < n; i++){
cin >> point[i].x >> point[i].y;
tiger[i].x = point[i].x;
tiger[i].y = point[i].y;
}
cin >> tiger[i].x >> tiger[i].y;//老虎坐标
stack<node> Q;
sign1 = 0;
posA = posB = point[0];
//分别找到笼子，加入老虎坐标 的点集的最左下的点
for (i = 1; i < n + 1; i++){
if (i<n){
if (posA.y == point[i].y&&posA.x>point[i].x || point[i].y < posA.y){
posA = point[i];
sign1 = i;
}
}
else{
posB = posA;
sign2 = sign1;
if (posB.y == tiger[i].y&&posB.x>tiger[i].x || tiger[i].y < posB.y){
posB = tiger[i];
sign2 = i;
}
}
}
swap(point[0], point[sign1]);
swap(tiger[0], tiger[sign2]);
sort(point + 1, point + n, cmp);//利用叉乘按点集离散化，方便筛选构成图凸包有效的点
sort(tiger + 1, tiger + n + 1, cmp);
Q.push(tiger[0]), Q.push(tiger[1]), Q.push(tiger[2]);

for (i = 3; i < n + 1; i++){
while (!Q.empty()){
tmp = Q.top();
Q.pop();
if (turn_left(tmp, Q.top(), tiger[i])){
Q.push(tmp);
break;
}
}
Q.push(tiger[i]);
}
//由于给出笼子必为凸包，直接计算面积
area1 = area2 = 0;
tmp = point[n - 1];
area1 += (posA.x*tmp.y - posA.y*tmp.x) / 2.0;
for (i = n - 2; i >= 0; i--){
area1 += (tmp.x*point[i].y - tmp.y*point[i].x) / 2.0;
tmp = point[i];
}

tmp = Q.top(), Q.pop();
area2 += (posA.x*tmp.y - posA.y*tmp.x) / 2.0;
while (!Q.empty()){
area2 += (tmp.x*Q.top().y - tmp.y*Q.top().x) / 2.0;
tmp = Q.top();
Q.pop();
}
printf("%s\n", area1 == area2 ? "YES" : "NO");
return 0;
}

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