hihoCoder#1038 : 01背包

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描述

且说上一周的故事里，小Hi和小Ho费劲心思终于拿到了茫茫多的奖券！而现在，终于到了小Ho领取奖励的时刻了！
小Ho现在手上有M张奖券，而奖品区有N件奖品，分别标号为1到N，其中第i件奖品需要need(i)张奖券进行兑换，同时也只能兑换一次，为了使得辛苦得到的奖券不白白浪费，小Ho给每件奖品都评了分，其中第i件奖品的评分值为value(i),表示他对这件奖品的喜好值。现在他想知道，凭借他手上的这些奖券，可以换到哪些奖品，使得这些奖品的喜好值之和能够最大。
提示一：合理抽象问题、定义状态是动态规划最关键的一步
提示二：说过了减少时间消耗，我们再来看看如何减少空间消耗

输入

每个测试点（输入文件）有且仅有一组测试数据。
每组测试数据的第一行为两个正整数N和M,表示奖品的个数，以及小Ho手中的奖券数。
接下来的n行描述每一行描述一个奖品，其中第i行为两个整数need(i)和value(i)，意义如前文所述。
测试数据保证
对于100%的数据，N的值不超过500，M的值不超过10^5
对于100%的数据，need(i)不超过2*10^5, value(i)不超过10^3

输出

对于每组测试数据，输出一个整数Ans，表示小Ho可以获得的总喜好值。

样例输入

5 1000
144 990
487 436
210 673
567 58
1056 897

样例输出

2099

【思路】：0-1背包，一维滚动数组优化空间

/*

有N件物品和一个容量为V的背包，第i件物品的费用是c[i],价值是w[i],求解将哪些物品放入背包可使价值总和最大

特点：

每一件物品仅有一件，可以选择放或者不放，

定义状态：F[i][v]:表示前i件物品恰好放入一个容量为v的背包可以获得的最大的价值

转移方程：F[i][v]=max(F[i-1][v],F[i-1][v-c[i]]+w[i]]);

优化空间复杂度：

以上求法时间和空间复杂度均为O(V*N),时间复杂度不能在优化了，然而空间复杂度可以进一步优化我们这样考虑：只用一个数组F[0..V],保证第i次循环结束结束后F[v]表示的是就是定义的状态F[i][v]

伪代码：

for i<--1 to N

do for v<--V to 0

do F[v]=max(F[v],F[v-c[i]]+w[i]);

*/

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,V;
int dp[505][505],dpp[100010];
int v[2*100010],w[1010];
void solve()      //常规求法
{
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
    {
        for(int j=0;j<=V;j++)
        {
            if(j<w[i]) dp[i][j]=dp[i+1][j];
            else dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    printf("%d\n",dp[0][V]);
}
void solve2()    //一维滚动数组
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=V;j>=w[i];j--)
            dpp[j]=max(dpp[j],dpp[j-w[i]]+v[i]);
    }
     printf("%d\n",dpp[V]);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&V);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
    solve2();
}