算法--电路布线问题

在一块电路板的上、下两端分别有n个接线柱。根据电路设计，要求用导线将上端接线柱与下端接线柱相连

，


 

如上图所示，每个节点有且只连有一条线。
在制作电路板时，要求将这n条连线分布到若干绝缘层上。在同一层上的连线不相交。
这个问题是要确定将哪些连线安排在第一层上，使得该层上有尽可能多的连线（不相交）。
为了解决这个问题，我们可以 将问题简化为这样：
设定上接线柱为1,2,3,....,n。
下接线柱是【 1,2,3,....,n】的一个排列 设为f(i)，i的值就是上接线柱的数字，
如上图就是这样的模型：
i    1    2     3    4   5   6    7    8     9    10
f(i) 8，7，4，2，5，1，9，3，10，6
它们一一对应。 
我们还必须得到这样一个结论：
对于上接线柱i1<i2<i3<...<ik来说。它们与下接线柱f(i)的连线之间互不相交的充要条件是：
f(i1)<f(i2)<...<f(ik)。这个结论是很显然成立的。
因为对于i1<i2如果f(i1)>f(i2)则它们一定相交(画出图像来看看）
因此，我可以将这个电路布线问题，转化为这样的问题：
已知有一个{1,2,3,...,n}的排列，将其拆分为k个子排列，并且每个子排列都是严格递增的，求子排列的最大元素个数。
例如：排列 8，7，4，2，5，1，9，3，10，6可以拆分成五个子排列{4,5,9,10}{8}{7}{2,3,6}{1} 。
它最大的元素个数是4。
排列 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10它是递增的，所以无需拆分，最大元素个数是10。
算法实现：
对于排列8，7，4，2，5，1，9，3，10，6。
先将记录第一个值8，依次向后扫描至大于8的元素。如果发现8的元素，例如9，则我可以产生一个子排列{8,9}（实际上只需要更改元素数量和最大值即可），继续扫描。
产生子排列{8,9,10}。扫描完毕后姑且认为子排列最大元素是3个。
第二次以7向后扫描，只要扫描到比它大的，就将产生一个子排列，继续向后扫描，扫描结束后，得到排列是{7,9,10}。个数是3，与之前的比较。
第三次以4开始扫描，。。。依次下去至扫描结束。 
使用递归算法代码简单，算法复杂度为O(N*N)

 

#include <iostream>
using namespace std;
#define N 10

int sub
= { 2, 7, 3, 4, 5, 6, 9, 8, 10, 1 };

int function(int MaxElem,int e=0,int counts=1)
{
if (e==N-1)
{
//递归的出口
if (sub[e] > MaxElem) counts++;
return counts;
}
else
{
if (sub[e]>MaxElem)
{
MaxElem = sub[e];
counts++;

}
return function(MaxElem,e+1,counts);
}

}

int main()
{
int max = 0,t;
for (int i = 0; i < N; i++)
{
if ((t = function(sub[i]))>max) max = t;
}
cout << max << endl;

return 0;
}