线性同余方程初步应用分析

一元线性同余方程

定义：a，b是整数，m是正整数，形如ax≡b（mod m），且x是未知整数的同余式称为一元线性同余方程。

定理：a，b，m是整数且m>0，gcd（a，m）=d，如果d|b，则方程恰有d个模m不同余的解，否则方程无解。

由同余方程式的定义可知：ax+my=b（y为整数），这个方程称为二元一次不定方程。

（1）解一元线性同余方程

设d=gcd（a,m），由定理可知若不满足d|b,那么方程无解，否则有：a=d×ao，m=d×mo；

那么方程变为：ao*x+mo*y=b/d；

由于此时gcd（ao,mo）=1，因此可以运用扩展欧几里得算法得出方程ao*x+mo*y=b/d的解x，虽然x不唯一，但是属于一个模m剩余系，由定理可知，共有d个模m剩余类满足方程，其代表元分别为：

x,x+mo,x+2*mo,...x+(d-1)*mo；

（2）一元线性同余方程求解代码实现

//扩展欧几里得算法
typedef long long LL;
void exgcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)
{
if(!b)
{
x=1,y=0,d=a;
return ;
}
else
{
exgcd(b,a%b,d,x,y);
LL temp=x;
x=y;
y=temp-(a/b)*y;
}
}
//求方程的所有解
LL ans[maxn];
int solve(int a,int b,int m)
{
exgcd(a,m,d,x,y)
if(b%d) return -1; //代表无解
x=x*(b/d)%m;
for(int i=1;i<=d;i++)
ans[i]=(x+(i-1)*m/d)%m;
}

解一元线性同余方程组

由上一讲我们知道，任何一元同余方程都可以变成若干个形如x≡b(mod m)的方程。对于模线性方程组，可以进行方程组合并，求出合并后的方程的解，这样就可以很快推出方程的最终解，不管这样的方程有多少个，都可以两两解决，求得方程组的最终解，我们拿两个方程构成的方程组为例来讲：

x≡b1(mod m1).......(1)

x≡b2(mod m2).......(2)

令m=lcm（m1,m2）。首先，此方程有解的充分必要条件是gcd（m1,m2）|(b1-b2)，此方程仅有一个小于m的非负整数解，利用扩展欧几里得短发可以很容易解出来:

式（1）等价于 x=b1+m1*y1;

式（2）等价于 x=b2+m2*y2;

联立可得：b1+m1*y1=b2+m2*y2==>m2*y2-m1*y1=b1-b2

用解一元线性同余方程的方法，可以求出次方程的解y2，因此小于m的非负整数解即为(b2+m2*y2)%m。

假设同余方程组为：

x≡r1(mod
a1)

x≡r2(mod a2)

x≡r3(mod a3)

...

x≡rn(mod an)

下面给出求此方程组小于m的非负整数解的代码：

typedef long long LL;
LL a,b,c,d,a1,r1,a2,r2;
int solve(int n)
{//函数返回值即为方程的解，若方程无解，则返回-1
bool ifhave=1;
scanf("%lld%lld",&a1,&r1);
for(int i=1;i<n;i++)
{
scanf("%lld%lld",&a2,&r2);
a=a1,b=a2,c=r2-r1;
exgcd(a,b,d,x0,y0);
if(c%d) ifhave=0;
LL t=b/d;
x0=(x0*(c/d)%t+t)%t;
r1=a1*x0+r1;
a1=a1*(a2/d);
}
if(!ifhave) r1=-1;
return r1;
}

多元线性同余方程

定义：形如a1x1+a2x2+...+anxn+b≡0（mod
m）的同余方程称为多元线性同余方程。

定理：多元线性同余方程a1x1+a2x2+...+anxn+b≡0（mod
m）有解的充分必要条件是：

gcd（a1,a2,...,an,m）| b.若方程有解，则解(模m的剩余类)的个数为m^(n-1) ×gcd（a1,a2...,an,m）.

解多元线性同余方程：令d=gcd(a1,a2,...,an,m),d1=gcd(a1,a2,...,a(n-1),m),那么gcd(d1,an)=d，由方程可知：anxn+b≡0（mod d1）.

这样，我们就把方程分成两部分：

（1）a1x1+a2x2+...+a(n-1)x(n-1)+b1d1≡0（mod m），其中（b1d1=anxn+b）；

（2）anxn+b≡0（mod d1）.

方程成立当且仅当(1),(2)都满足，所以能够求得方程的解。

例题：

http://poj.org/problem?id=2891

http://poj.org/problem?id=2115

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1573

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3579