HDU1086 You can Solve a Geometry Problem too(数学几何)

这道题的主要解题思路如下：

第1 步：快速排斥试验，如果分别以P1P2 ，P3P4 为对角线做矩形，而这两个矩形不相交，则这两条线段肯定不相交，如下左图；即使两个矩形相交，这两条线段也不一定相交，如下右图，这时再用第2 步判断；






表示成语句，即两个矩形相交当且仅当下列式子为真：

（max(x1,x2)≥min(x3,x4)）∧ (max(x3,x4)≥min(x1,x2)) ∧（max(y1,y2)≥min(y3,y4)）∧(max(y3,y4)≥min(y1,y2))

两个矩形相交必须在两个方向上都相交，式子的前半部分判断在x 方向上是否相交，后半部分判断在y 方向上是否相交。

第2 步：确定每条线段是否“跨立”另一条线段所在的直线。

跨立：如果点P1 处于直线P3P4的一边，而P2处于该直线的另一边，则我们说线段p1p2跨立直线P3P4，如果P1 或P2 在直线P3P4 上，也算跨立。

两条线段相交当且仅当它们能够通过第1 步的快速排斥试验，并且每一条线段都跨立另一条线段所在的直线。




具体第2 步的实现，只要用叉积去做就可以了，即只要判断矢量p1p3和p1p4是否在p1p2的两边相对的位置上，如果这样，则线段p1p2跨立直线P3P4。也即检查叉积（P3-P1）×（P2-P1）与（P4-P1）×（P2-P1）的符号是否相同，相同则不跨立，线段也就不相交，否则相交。

当然也有一些特殊情况需要处理，如任何一个叉积为0，则P3 或P4 在直线P1P2 上，又因为通过了快速排斥试验，所以下图左边的情况是不可能出现的，只会出现右边的两种情况。当然，还会出现一条或两条线段的长度为0，如果两条线段的长度都是0，则只要通过快速排斥试验就能确定；如果仅有一条线段的长度为0，如p3p4的长度为0，则线段相交当且仅当叉积（P3-P1）×（P2-P1）。




有关于叉积的概念：

矢量的矢量积（叉乘、叉积）

① 矢量积的一般含义：两个矢量a 和b 的矢量积是一个矢量，记作a×b，其模等于由a 和b作成的平行四边形的面积，方向与平行四边形所在平面垂直，当站在这个方向观察时，a 逆时针转过一个小于π的角到达b 的方向。这个方向也可以用物理上的右手螺旋定则判断：右手四指弯向由A 转到B 的方向（转过的角小于π），拇指指向的就是矢量积的方向。如下图（左）。






② 我们给出叉积的等价而更有用的定义，把叉积定义为一个矩阵的行列式：






如上右图，如果 p1 × p2 为正数，则相对原点(0,0)来说， p1 在p 2 的顺时针方向； 如果p 1 × p2为负数，则p 1 在p 2 的逆时针方向。如果p 1× p2 =0，则p 1和p 2 模相等且共线，方向相同或相反。



③ 给定两个矢量：P0P1和P0P2，对它们的公共端点P0来说，判断P0P1是否在P0P2的顺时针方向。




方法：如上图，把0 p 作为原点，得出向量P1’=P1-P0 和P2’=P2-P0，因此，这两个向量的叉积为： 如果该叉积为正，则P0P1在P0P2的顺时针方向，如果为负，则P0P1在P0P2的逆时针方向。如果等于0，则P0，P1，P2三点共线。

④ 讨论另一个重要问题：确定连续线段是向左转还是向右转，如下图，即两条连续线段P0P1

和P1P2在点P1 是向左转还是向右转。也即∠P1P0P2的转向。

方法：叉积，同上。



这道题还要注意一点：

还有一些情况要考虑：





就这样！

#include<iostream>
using namespace std;
struct Coord
{
    double x,y;
};
struct Segment
{
    Coord a,b;
};
bool Judge(Coord &a,Coord &b,Coord &c,Coord &d){
    if(!(min(a.x,b.x)<=max(c.x,d.x)&&min(c.y,d.y)<=max(a.y,b.y)&&
         min(c.x,d.x)<=max(a.x,b.x)&&min(a.y,b.y)<=max(c.y,d.y)))
        return false;
    double u,v,w,z;
    u=(c.x-a.x)*(b.y-a.y)-(b.x-a.x)*(c.y-a.y);
    v=(d.x-a.x)*(b.y-a.y)-(b.x-a.x)*(d.y-a.y);
    w=(a.x-c.x)*(d.y-c.y)-(d.x-c.x)*(a.y-c.y);
    z=(b.x-c.x)*(d.y-c.y)-(d.x-c.x)*(b.y-c.y);
    return (u*v <= 0.00000001 && w*z <= 0.00000001);
}
int main()
{
    int n;
    Segment str[101];
    while(cin>>n && n!=0){
        int count = 0;
        for(int i=0;i<n;i++){
            cin>>str[i].a.x>>str[i].a.y>>str[i].b.x>>str[i].b.y;
        }
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=i+1;j<n;j++)
            if(Judge(str[i].a,str[i].b,str[j].a,str[j].b))
            count++;
        cout<<count<<endl;
    }
    return 0;
}