数理统计

当研究并解决一个实际问题时， 我们会

遇到下面问题：

• 1. 这个随机现象可以用什么样的分布律

来刻划，这种分布律的选用合理吗？

• 2. 所选用的这一分布律的参数是多少？

如何估计和确定这些参数？

如何利用数据资料，作出尽可能精确可

靠的统计结论(统计推断):

1） 估计——从局部观测资料的统计特征，推断总体的特征(分布与矩)；

2）假设检验——依据抽样数据资料，对总体的某种假设作检验，从而决定对此假定是拒绝抑或接受.

数理统计的基本概念

总体：研究对象全体; 也称母体, 记作SS.

样本：总体中抽出作观测的个体;也称子样，记ω\omega

样本容量：抽取的个体数目;也称样本大小.

例子

随机抽5支,得寿命数据(称为观察[测]值）：

725，520，683，992，742725，520，683，992，742.(小时)

一般记为，x1 x2 x3 x4 x5x_1\ x_2\ x_3\ x_4\ x_5.

又抽5支， x′1 x′2 x′3 x′4 x′5x^\prime_1\ x^\prime_2\ x^\prime_3\ x^\prime_4\ x^\prime_5.

再抽5支， x′′1 x′′2 x′′3 x′′4 x′′5 x^{\prime \prime}_1\ x^{\prime \prime}_2\ x^{\prime \prime}_3\ x^{\prime \prime}_4\ x^{\prime \prime}_5\ .

…… ……

如此继续. 各组观察值彼此不同.

如此继续. 每组中的第一支灯的寿命，

也彼此不同. 这样，泛指所抽取的第一支荧光灯的寿命应是一个rvrv，记为

X1X_1 . 同样第二支的寿命是rv X2rv\ X_2 ，…

如此得一组rv : X1,X2,X3,X4,X5rv\ :\ X_1,X_2,X_3,X_4,X_5

称为大小为5的样本.

一般地则有大小（容量）为nn 的样本,称x1,x2,...,xnx_1, x_2, ..., x_n为样本观察值[现实].

抽取的样本如能切实保证其随机性，那么应该彼此独立，且能反映总体的随机规律性，即所有样本彼此独立且与总体同分布. 这样的样本，我们称之为简单样本. 这种抽样方法，叫简单抽样.

注意，在有限总体中，各观察结果可能不独立.

样本的数字特征与分布

最简单又方便的样本函数g(X1,…,Xn)g (X_1, …, X_n)是XiX_i们的一次和二次的线性组合.

由于样本“平等”，线性组合中应有相等的权系数.

一次时:样本的算术平均值X¯¯¯\overline X;

二次时:中心化后的样本二阶中心矩S2nS_n^2.

设X1,…,XnX_1, …,X_n为总体SS的大小为nn的样本， 分别称

X¯¯¯=1n∑i=1nXi S2=1n−1∑i=1n(Xi−X¯¯¯)2\overline X={1 \over n}\sum_{i=1}^nX_i\ \ \ \ S^2={1 \over n-1}\sum^n_{i=1}(X_i-\overline X)^2

为样本均值和*样本方差（样本方差除以n-1的原因），而依次称

Mk=1n∑i=1nXki S2n=1n∑i=1n(Xi−X¯¯¯)2M_k={1 \over n}\sum^n_{i=1}X_i^k\ \ \ \ S^2_n={1 \over n}\sum^n_{i=1}(X_i-\overline X)^2

为样本的k阶矩和样本的二阶中心矩.


记号：总体k阶矩：

μk=EXk∫+∞−∞xkdFX(x)\mu_k= EX^k\int ^{+\infty}_{-\infty}x^kdF_X(x)

总体的k阶中心矩：

σk=∫+∞−∞(x−EX)kdFX(x)\sigma_k=\int ^{+\infty}_{-\infty}(x-EX)^kdF_X(x)

μ=μ1,σ2=σ2\mu=\mu_1,\sigma_2=\sigma^2.

注意

1)M1=X¯¯¯,S2n M_1=\overline X , S_n^2 没叫样本方差.

2) 比较总体的期望μ\mu、方差σ2\sigma^2与矩μk\mu_k:

　　　1. 样本的均值、方差及kk阶矩等都是rvrv，并且因nn有限而总是存在的.

　　　2. 总体的期望、方差及kk阶矩等不一定存在.且即便存在，也是实数值， 而非rvrv.

3)代入观察值, 有相应的样本矩的观察值x,mx, m以及s2s^2 等.

性质 如果总体kk阶矩存在，则样本的k阶矩的数学期望等于总体的kk阶矩，而当nn 趋于无穷时，样本的kk 阶矩以概率收敛到总体的kk 阶矩，即

顺序统计量与经验dfdf

仍从观察值出发设法求总体分布. 以五支荧光灯寿命数据725,520,683,992,742725, 520, 683, 992, 742为例，构造




其dfdf 函数(如后图)称为经验dfdf 函数.

设{xi}\{x_i\}观察值重新依序排列为{x(n)}: x(1)≤x(2)≤⋯≤xn\{x_{(n)}\}:\ \ \ \ x_{(1)}\leq x_{(2)}\leq \dots \leq x_{{n}}

令



称为由{xi}\{x_i\}决定的经验dfdf, 简记为F∗n(x)F_n^*(x).

将以从小到大为序重新排列的一个样本，称为顺序统计量，专记为x(1) x(2) … xnx_{(1)}\ x_{(2)}\ \dots \ x_{{n}}

下面一个非常重要的定理确立经验dfdf 的重要地位. 此定理保证，几乎由每一组观察值得到的经验dfdf，只要n足够大，都可作为总体dfdf 的近似. 定理中一致收敛性和几乎处处收敛性，给了我们充分的自由.从而由样本去找总体dfdf ，理论上有一个完满的解决.

limn→∞F∗n(x)=F(x)\lim_{n\rightarrow \infty} F_n^*(x)=F(x)

抽样分布与统计量

正态总体常用的样本函数

1.设总体S～N(μ,σ2)S ～N (\mu,\sigma^2). 则

样本均值X¯¯¯～N(μ,σ2n)\overline X ～N (\mu,{\sigma^2 \over n})，从而

Z:=X¯¯¯−μσ/n√～N(0,1)Z:={\overline X-\mu \over \sigma/\sqrt{n}} ～ N(0,1)

2.K2n:=∑n1(Xi−μσ)2K_n^2:=\sum_1^n({X_i-\mu \over \sigma})^2的分布χ2(n)\chi^2(n)

K2nK_n^2是nn个独立的标准正态变量的平方和,称nn个独立的标准正态变量的平方和的分布为自由度为nn的χ2\chi^2分布.

3.(n−1)S2σ2～χ2(n−1)\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} ～\chi^2(n-1)

样本均值与样本方差独立, 且

K2=(n−1)S2σ2=∑1n(Xi−X¯¯¯σ)2　～　χ2(n−1)K_2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}=\sum_1^n({X_i-\overline X\over \sigma})^2　～　\chi^2(n-1)

在K2n=∑n1(Xi−μσ)2K_n^2 =\sum_1^n({X_i-\mu \over \sigma})^2 中用X¯¯¯\overline X易μ\mu得K2K_2.

4.T:=X¯−μS/n√～　t(n−1)T:={\overline X-\mu \over S/\sqrt{n}} ～　t(n-1)

Z:=X¯−μσ/n√～N(0,1)Z:={\overline X-\mu \over \sigma/\sqrt{n}} ～ N(0,1)中如σ\sigma未知，S2S^2是σ2\sigma^2的无偏估计，自然用S代替Z中的σ\sigma引入T

如果Z　～Ｎ（０，１），Y～χ2(n)Z　～Ｎ（０，１），Y～\chi^2(n)且独立，则称

t=ZY/N−−−−√～t(n)t={Z \over \sqrt{Y/N}}～t(n)

即自由度nn的tt 分布.

5.Fnm:=S21σ22S22σ21～F(n−1,m−1)F_{nm}:={S_1^2\sigma^2_2 \over S_2^2\sigma^2_1}～F(n-1,m-1)

如果X～χ2(n),Y～χ2(n)X～\chi^2(n),Y～\chi^2(n)，且两者相互独立，则称F=χ2(n)/nχ2(m)/m～Ｆ(n,m)F={\chi^2(n)/n\over \chi^2(m)/m}～Ｆ(n,m)

为自由度为n,m的F分布

性质

• t 分布是对称的,且n→∞n\rightarrow \infty极限为正态(n≥30n\geq30时近似的效果就很好) .

• t 分布只有k<nk阶矩.

• κ2\kappa^2 分布和F分布不对称，且x<0x<0 时为0.

• κ2\kappa^2 分布的可加性：设U 与V 独立，且分别~κ2(n)\kappa^2(n)和κ2(m)\kappa^2(m)，则U＋V～κ2(n+m)U＋V ～\kappa^2(n+m).

对给定的实数α∈(0,0.5)\alpha \in(0, 0.5), 使

P(X>y)=∫∞yfX(x)=αP(X>y)=\int^\infty_yf_X(x)=\alpha

成立的点yy, 称为XX 或其分布的上百分位α\alpha点. 特别对N(0,1)N(0, 1)、t(n)t(n)、κ2(n)\kappa^2(n)和F(n,m)F(n, m)分布, 分别记为

zα,tα(n),χ2α(n),Fα(n,m)z_\alpha,t_\alpha(n),\chi_\alpha^2(n),F_\alpha(n,m)

使

P(X>y)=∫∞yfX(x)=1−αP(X>y)=\int^\infty_yf_X(x)={1-\alpha}

成立的点yy, 称为XX 或其分布的下百分位α\alpha点. 特别对N(0,1)N(0, 1)、t(n)t(n)、κ2(n)\kappa^2(n)和F(n,m)F(n, m)分布, 分别记为

z1−α,t1−α(n),χ21−α(n),F1−α(n,m)z_{1-\alpha},t_{1-\alpha}(n),\chi_{1-\alpha}^2(n),F_{1-\alpha}(n,m)

百分位点的值，可由表查得.

例题：

例题1：

设X1,X2,…,XnX_1, X_2,…, X_n, 是来自总体X～N(0,σ2)X～N(0,\sigma^2)的简单随机样本，求统计量

∑10i=1(−1)iXi∑20i=11X2i−−−−−−−−√\sum^{10}_{i=1}(-1)^iX_i\over \sqrt{\sum^{20}_{i=11}X_i^2}

的分布。

解：

由题意可知Xk～N(0,σ2)X_k～N(0,\sigma^2)可得

∑10i=1(−1)iXi～N(0,10σ2)\sum^{10}_{i=1}(-1)^iX_i～N(0,10\sigma^2)

∑10i=1(−1)iXi /10−−√σ～N(0,1)\sum^{10}_{i=1}(-1)^iX_i\ /\sqrt{10}\sigma～N(0,1)

又因为∑20i=11(X2iσ)～χ2(10)\sum^{20}_{i=11}({X_i^2\over\sigma})～\chi^2(10)

故由t分布定义可得

∑10i=1(−1)iXi∑20i=11X2i−−−−−−−−√ = ∑10i=1(−1)iXi10−−√σ(∑20i=11(X2i/10)σ)−1～t(10){\sum^{10}_{i=1}(-1)^iX_i\over \sqrt{\sum^{20}_{i=11}X_i^2}}\ =\ \frac{\sum^{10}_{i=1}(-1)^iX_i}{\sqrt{10}\sigma}({\sum^{20}_{i=11}({X_i^2/10})\over \sigma})^{-1}～t(10)

例题2：

设X1,X2,…,Xn+1X_1, X_2,…, X_{n+1}是正态总体的简单样本，前面容量为n的样本均值和样本二阶中心矩分别为X¯¯¯\overline X 和S2nS_n^2

试求下列样本函数的分布

1)(n−1)(X1−μ)2 / ∑ni=2(Xi−μ)2(n-1)(X_1-\mu)^2\ /\ \sum_{i=2}^n(X_i-\mu)^2

2)Xn+1−X¯Snn−1n+1−−−√{X_{n+1}-\overline X \over S_n}\sqrt{n-1\over n+1}

解：

1)

(n−1)(X1−μ)2 / ∑ni=2(Xi−μ)2=(Xi−μ)2σ2∑ni=2(Xi−μσ)2n−1(n-1)(X_1-\mu)^2\ /\ \sum_{i=2}^n(X_i-\mu)^2\\={\frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\over\frac{\sum_{i=2}^n{(\frac{X_i-\mu}{\sigma})^2}}{n-1}}

分子服从χ2(1)\chi^2(1)，分母服从χ2(n−1)\chi^2(n-1)

所以整个式子服从F(1,n−1)F(1,n-1)

2)

Xn+1−X¯Snn−1n+1−−−√{X_{n+1}-\overline X \over S_n}\sqrt{n-1\over n+1}

分母部分变成：

S2n(n−1)σ2～χ2(n−1){S_n^2(n-1)\over\sigma^2}～\chi^2(n-1)

分子部分变成：

Xn+1−X¯σ～Ｎ(0,1){X_{n+1}-\overline X \over\sigma}～Ｎ(0,1)

因此原式变成：

Xn+1−X¯σS2n(n−1)σ2√ / n−1√\frac{X_{n+1}-\overline X \over \sigma}{\sqrt{S_n^2(n-1)\over\sigma^2}\ /\ \sqrt{n-1}}

服从t(n−1)t(n-1)