数列与数列的极限

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数列与数列的极限

数列的定义

按照某一法则，对每个 n∈N+，对应着一个确定的实数 xn，这些实数，按照下标 n 从小到大排列得到的一个序列

x1,x2,x3,...,xn,...

就称为数列，简记为数列{xn}

数列中每一个数叫数列的项，第 n 项叫做数列的一般项。

比如12,23,34,...nn+1,...

其中 nn+1 为一般项。

数列 {xn} 还可以看作自变量为正整数 n 的函数： xn=f(x),n∈N+

数列的极限

如果当 n→∞ 时，对应的 xn=f(n) 是否能无限接近于某个确定的数值？如果确定的话，这个数值是多少？

这就是要讨论的数列的极限。

例如数列

2,12,43,...,n+(−1)n−1n,...

在这个数列中，一般项为 xn=n+(−1)n−1n=1+(−1)n−11n

另外两个数 a 与 b 之间的距离可以用 |b−a| 表示。

于是对于一般项 xn=1+(−1)n−11n

|xn−1|=|(−1)n−11n|=1n

当 n→∞ 的时候，1n 就无穷小，xn 也就越来越接近于 1。

我们将上面的式子写成不等式：

|xn−1|<ϵ

一般来说，不论给定的正数 ϵ 多么小，总存在一个正整数 N，使得当 n>N 的时候，上面的不等式都能成立，就说数列 xn 当 n→∞ 时无限接近于 1。这样一个数 1，就是数列 xn 的极限。

这个要怎么理解才好呢，比如说，对于上面的式子，我给给定一个正数 ϵ=11000，那么我可以找到一个正数 N=1001，这样就可以满足

|xn−1|=1n=11001<11000

所以说 1 是它的极限。

下面是极限的定义：

设 {xn} 为一数列，如果存在常数 a，对于任意给定的正数 ϵ （不论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n>N 时，不等式|xn−a|<ϵ，都成立。那么就称常数 a 是数列 {xn} 的极限，或者称数列 {xn} 收敛于 a，记作：

limn→∞xn=a或xn→a(n→∞)

如果不存在这样的常数 a，数列 {xn} 也就没有极限，或者说数列 {xn} 是发散的。

引入新符号

为了表达方便，引入记号 ∀ 表示对于每一个，记号 ∃ 表示存在。

上述极限可以表达为：

limn→∞xn=a→∀ϵ>0,∃正整数N，当n>N时，有|xn−a|<ϵ

证明：xn=(−1)n(n+1)2的极限是 0。

证明题，题目已经告诉我们极限是0了，让我们去证明，我们就直接按照极限的定义那一般项减去极限再说。

|xn−0|=|(−1)n(n+1)2|=1(n+1)2

接下来要判断这个数是否小于某个数，因为

1(n+1)2<1n+1

所以我们只需要求证 1n+1 小于某个数就好了。

按照定义，∀ϵ>0，只要下面的不等式成立了

1n+1<ϵ

那么不等式 |xn−a|<ϵ 也一定成立。

那么上面的不等式翻转过来变为：

n+1>1ϵ

再两边同时减去1：

n>1ϵ−1

然后我们假设 N=1ϵ−1，则当 n>N 时可以证明数列的极限为 0 了。

收敛数列的性质

如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一。这条称为极限的唯一性。

如果数列{xn}收敛，那么数列一定有界。这条称为收敛数列的有界性。

如果 limn→∞xn=a ，且 a>0（或 a<0），那么存在正整数 N>0，当 n>N 时，都有 xn>0 或 xn<0。这条称为收敛数列的保号性。就是说如果数列的极限是正数，那么从某一项开始，后面的所有项都是正数。

推论：如果数列从某一项开始都是大于等于零或者小于等于零，那它的极限就是大于等于零或者小于等于零。

如果数列{xn}收敛于 a，那么它的任一子数列也收敛，并且极限也是 a。