求向量组的等价正交单位向量组－施密特正交化 C 语言 算法

求向量组的等价正交单位向量组－施密特正交化 C 语言 算法

　　一.施密特正交化

首先需要确定已有基底向量的顺序，不妨设为

。Gram-Schmidt正交化的过程如下：

这样就得到

上的一组正交基

，以及相应的标准正交基

。

　　给定的S个N维向量组，第一步先求出向量组的极大线性无关组

　　将向量组

排成矩阵A：

　　

（列向量组时）或

（行向量组时）（＊）

　　将列（或行）向量组

排成矩阵A如（＊）式，并用初等行（或列）变换化A为行（或列）阶梯形矩阵G（或

），则G（或

）中非零行（或列）的个数即等于向量组的秩，且

是该向量组的一个极大线性无关组，其中

是G（或

）中各非零行（或列）的第1个非零元素所在的列（或行）。

　　二.C语言程序算法

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

void main()
{
int i,j,k;
int s,n;//s个n维向量组
int groupNum=0;//极大线性无关组个数
double **array,**deterArray;
double **result;
int *groupPosition;

void printfDouble2Dimension(int s, int n, double **array);
void printfInt1Dimension(int n, int *array);
void primaryRowChange(int s, int n, double **array);
int getGreatLinerlyIndependentGroup(int s, int n, double **array, int *result);
void calcOrthogonalization(int s, int n, double **result);

printf("请输入向量个数S:");
scanf("%d",&s);
printf("请输入向量维度N:");
scanf("%d",&n);
array=(double**)malloc(s*sizeof(double*));
deterArray=(double**)malloc(n*sizeof(double*));
groupPosition =(int*)malloc(s*sizeof(int));

for(i=0;i<n;i++)
{
deterArray[i]=(double*)malloc(n*sizeof(double));
}
for(i=0;i<s;i++)
*(groupPosition+i)=-1;
//
for(i=0;i<s;i++)
{
array[i]=(double*)malloc(n*sizeof(double));
printf("请输入第%d个向量:",i+1);
for(j=0;j<n;j++)
{
scanf("%lf",*(array+i)+j);
*(*(deterArray+j)+i) = *(*(array+i)+j);
}
}

printf("输入向量行矩阵:\n");
printfDouble2Dimension(s,n,array);
printf("输入向量列矩阵:\n");
printfDouble2Dimension(n,s,deterArray);

primaryRowChange(n,s,deterArray);

printf("列矩阵初等行变换后:\n");
printfDouble2Dimension(n,s,deterArray);

groupNum = getGreatLinerlyIndependentGroup(n,s,deterArray,groupPosition);

result = (double**)malloc(groupNum*sizeof(double*));
for(i=0;i<groupNum;i++)
{
if(*(groupPosition+i)!=-1)
{
result[i] = (double*)malloc(n*sizeof(double));
result[i] = *(array+ *(groupPosition+i));
}
}
printf("极大线性无关组:\n");
printfDouble2Dimension(groupNum,n,result);

calcOrthogonalization(groupNum,n,result);

printf("等价正交单位向量组:\n");
printfDouble2Dimension(groupNum,n,result);

system("pause");
}
//初等行变换
void primaryRowChange(int s, int n, double **array)
{
int i,j,k,ii,kk,flag;
double temp;
for(i=0,j=0;i<s-1;i++,j++)//s行，最外围只需要变换s-1
{
ii=i;
//如果行的首元为0，向下查找一个不为0的，然后换行
if(*(*(array+i)+j) == 0)
{
flag=0;
for(k=i+1;k<s;k++)
{
if(*(*(array+k)+j)!=0)//第k行与第i行交换
{
for(kk=j;kk<n;kk++)
{
temp=*(*(array+k)+kk);
*(*(array+k)+kk) = *(*(array+i)+kk);
*(*(array+i)+kk) = temp;
}
flag =1;
break;
}
}
//判断是交换成功，如果没有成功，则i--
if(!flag)
{
i--;
continue;
}
i--;
j--;
continue;
}
for(;ii<s-1;ii++)
{
if(*(*(array+ii+1)+j)==0)
continue;
temp =-*(*(array+ii+1)+j) / *(*(array+i)+j);
for(k=j;k<n;k++)
*(*(array+ii+1)+k) += *(*(array+i)+k) * temp;

}
}
}

//获取极大线性无关组位置及个数
int getGreatLinerlyIndependentGroup(int s, int n, double **array, int *result)
{
int i,j,num=0;
for(i=0;i<s;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
if(*(*(array+i)+j)!=0)
{
*(result + num++)=j;
break;
}
}
}
return num;
}

//计算正交单位向量组
void calcOrthogonalization(int s, int n, double **result)
{
int i,j,k;
double **tempArray ,temp;
double sqrt(double x);
double getInnerProduct(int n,double *array1, double *array2);
for(i=0;i<s;i++)
{
tempArray = (double**)malloc(i*sizeof(double*));
for(j=0;j<i;j++)
{
tempArray[j] = (double*)malloc(n*sizeof(double));
temp = getInnerProduct(n,*(result+i),*(result+j)) / getInnerProduct(n,*(result+j),*(result+j));
for(k=0;k<n;k++)
{
*(*(tempArray+j)+k) = temp * *(*(result+j)+k);
}
}
for(j=0;j<i;j++)
{
for(k=0;k<n;k++)
*(*(result+i)+k) -= *(*(tempArray+j)+k);
}
}
//单位化
for(i=0;i<s;i++)
{
temp = getInnerProduct(n,*(result+i),*(result+i));
temp = sqrt(temp);
for(j=0;j<n;j++)
{
*(*(result+i)+j) /= temp;
}
}
}

//计算两个向量的内积
double getInnerProduct(int n, double *array1, double *array2)
{
int i;
double result=0;
for(i=0;i<n;i++)
result += *(array1+i) * *(array2+i);
return result;
}
//print array
void printfDouble2Dimension(int s, int n, double **array)
{
int i,j;
for(i=0;i<s;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
printf("%6.2lf",*(*(array+i)+j));
}
printf("\n");
}
}

void printfInt1Dimension(int n, int *array)
{
int i;
for(i=0;i<n;i++)
{
printf("%4d",*(array+i));
}
printf("\n");
}

　　三.程序截图

1>　　p219-例1



2>　　3.5-9



3>　　test1



4>　　test2