BZOJ_1004 Cards

1.题目相关

标签：

Polya

题目地址：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1004

题目大意：中文题。

2.思路

比较基础的Polya计数。

利用Burnside引理+K背包+乘法逆元。居然不经意间就会了K背包

前面两个网上书上资料很多，重点讲乘法逆元。

先讲一下扩展欧几里得。

设

a⋅X1+b⋅Y1=gcd(a,b)

b⋅X2+(a%b)⋅Y2=gcd(b,a%b)

其中

gcd(a,b)=gcd(b,a%b) ， a%b=a−(a/b)⋅b

整理可得

a⋅X1+b⋅Y1=b⋅X2+(a−(a/b)⋅b)⋅Y2

a⋅X1+b⋅Y1=a⋅Y2+b⋅[X2−(a/b)]⋅Y2

所以

X1=Y2 ， Y1=X2−(a/b)⋅Y2

代码如下

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if (b == 0) {x = 1; y = 0; return;}
exgcd(b, a%b, x, y);
int t = x; x = y; y = t-a/b*y;
}

有了以上的知识就可以来讨论有关 (a/b) % p 的值的问题了

先来看定义：

满足 a⋅k≡1 (mod p) 的 k 值就是 a 关于 p 的乘法逆元。

为什么要用乘法逆元呢？

当我们要求 (a/b) % p 的值，且 a 很大，无法直接求得 a/b 的值时，我们就要用到乘法逆元。

我们可以通过求 b 关于 p 的乘法逆元 k，将 a 乘上 k 再模 p，即 (a⋅k) % p。其结果与 (a/b) mod p 等价。

证明如下

根据

b⋅k≡1 (mod p)

可得

b⋅k=p⋅x+1

k=(p⋅x+1)/b

把 k 代入

(a⋅k) mod p

得原式

=(a⋅(p⋅x+1)/b) % p

=((a⋅p⋅x)/b+a/b) % p

=[((a⋅p⋅x)/b) % p+(a/b)] % p

所以原式等于

(a/b) % p

而 k 的值只要调用一下 exgcd 就好了。但需注意接出来 k 可能是负数，所以要不断加 p 。

代码如下

exgcd(b, p, k, y);
while (k <= 0) k += p;

注意题目中有一个比较 坑爹 的一个地方：没有(1,2,3…n-1,n)这个置换。其实还是我太菜

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