寻找最小的k个数

今天上午看了篇博文，这篇博文是对另一篇博文的总结，两篇博文都是在讨论一个算法——寻找最小的K的数，感觉两篇文章写得都很不错，值得借鉴和学习，所以做了一个自我的一个小总结，两篇博文的连接如下：
http://blog.csdn.net/huagong_adu/article/details/6901924 http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6370650
我主要就看了第一篇博文，第一篇博文也是在第二篇博文的基础上总结的。

算法的题目：如何在一堆数据中找出最小的K个数

一共有以下几种方法，效率由低到高：

1. 先对数据进行排序（插入排序，快速排序，whatever），然后取出前K个数

2. 声明一个K大小的数组，先从这堆数据中装入前K个数，找出这K个数中的最大的数Max(K)，然后从第K+1个数开始向后找，如果有小于这个Max(K)的，则替换掉这个数，然后从这K个数中重新找出最大的Max(K)，这样一直向后扫描，得到结果。这个算法的时间复杂度最坏为O(kn)。

3. 扫描数据堆K遍，每遍找出最小的那个数，复杂度为O(kn)。

4. 使用最大堆：先用数据中的前K个数建立一个最大堆（根元素大于左子树，同时大于右子树，以此类推），建立堆的复杂度为O(K)，然后从第K+1个数开始向后扫描，遇到小于堆顶元素时替换掉堆顶元素，更新堆，这个操作的时间复杂度为O(logK)。所以总的时间是O(K + (n - k) * logK) = O (n * logK)，比O(nK)稍微好一点。

5. 使用最小堆：这次是将这个数据建一个最小堆（时间复杂度O(n)），然后取出堆顶元素，每取完一次更新一次堆（O(logn)），取k次，所以总的时间复杂度是O（n + k * logn）

注意：可以证明O（n + k * logn）< O (n * logK)，即使用最小堆的方法优于使用最大堆的方法，但是在实际应用中两者的时间上的差距很小。但是请注意，在空间复杂度上最大堆需要O(k)，而最小堆需要O(n)，所以综合来讲，最大堆方法比最小堆方法有优势。

6. 对最小堆方法的改进：每次取走堆顶元素更新堆时，正常是把堆中最后一个元素放到堆顶（暂且称为 !Top），然后调整堆把 !Top下调到他应该在的位置。改进后， !Top不用下调到他原所应该在的位置，而是下调顶多K次就可以了。具体如下：

建立n的最小堆之后，取走堆顶元素（第一个数），然后将最后的数 !Top调到堆顶，把 !Top下调至多K-1层形成新的堆；接着取走堆顶元素（第二个数），同样，更新堆的时候 !Top下调至多K-2层...直到取走第K个数时，不再更新堆（此时的堆已经不是最小堆），算法结束，已经取得最小的K个数，最后的“堆”是不是堆已经跟我没关系了。

改进后的复杂度：建堆O（n），更新堆O（K），K次更新为O（K*K）=O（K^2），所以总的复杂度是O（n+K^2），比改进前的O（n+K*logn)要好。

7. 用快速排序的思想，先选取一个数作为基准比较数（作者称为“枢纽元”，即pivot），用快速排序的方法把数据分为两部分Sa和Sb，Sa中的数据都小于pivot，Sb中的数据都大于pivot。

如果K< |Sa|（ |Sa|表示Sa的大小），则对Sa部分用同样的方法继续操作；

如果K= |Sa|，则Sa是所求的数；

如果K= |Sa| + 1，则Sa和这个pivot一起构成所求解；

如果K> |Sa| + 1，则对Sb部分用同样的方法查找最小的（K- |Sa|-1）个数（其中Sa和pivot已经是解的一部分了）
8. 第二篇博客中所提到的BFPRT算法，BFPRT算法本质上是对上述快排思想算法的一种改进，重要改进就是在pivot的选取上，一般的快速排序算法是将数据堆中的第一个或者是最后一个数作为pivot，而BFPRT算法采用“五分化中位数的中位数”方法取得这个pivot，从而使算法复杂度降低到O(n)，具体方法如下：

以5个数为一组对数据进行划分，最后一组数据的个数为n%5，然后对每组数据用插入排序方法选出中位数，对选出的中位数用同样的方法继续选，最后选出这些数的中位数作为pivot，即可达到O（N）的效率。