POJ 1423 解题报告

这道题不能硬算。有很多巧妙的解法。

其一是打表“硬算”，但是当大于10, 100, 1000,...,等时除以相应的10的倍数（比如大于100时除以10），这样也能统计出来位数。

解法见：http://poj.org/showmessage?message_id=173590

其二是用stirling's approximation: http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation。斯特林公式是个很好的近似，在这里套用公式就可以得到结果。
解法见：http://poj.org/showmessage?message_id=110844

还有一种也是用公式填表。

len(n!) = int(log10(2) + log10(3) + ... + log10(n)) + 1

证明也挺简单的：n! = a * 10 ^ k。其中1<=a<10。(k + 1)即为我们所要求的n!的位数(10^2有3位)。

每个数都可以写成右边的形式。

我们对两边log10，有:log10(n!) = log10(a) + k。所以k = log10(n!) - log10(a) = log10(2) + log10(3) + ... + log10(n) - log10(a) = sum - log10(a).

这里我们用sum指代log10之和。由于1<=a<10，我们有0 <= log10(a) < 1.

由于k是整数，所以sum - log10(a)就是int(sum)。所以我们要求的结果即为k + 1 = int(sum) + 1。

thestoryofsnow

1423

Accepted

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500MS

C++

691B

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ID: thestor1
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using namespace std;

const int MAXM = 10000001;
int length[MAXM] = {0};

int main()
{
double sum = 0;
for (int m = 1; m < MAXM; ++m)
{
sum += log10(double(m));
length[m] = (int)sum + 1;
}

int T;
scanf("%d", &T);
for (int t = 0; t < T; ++t)
{
int m;
scanf("%d", &m);
printf("%d\n", length[m]);
}

return 0;
}