MATLAB学习笔记（八）

本章主要学习：

1.进行矩阵代数的基本运算

2.使用MATLAB中的矩阵运算联立方程组

3.使用MATLAB中的特殊矩阵

1.矩阵运算和函数

1）转置

>> A = [1,2,3];
>> A'
ans =
1
2
3
>>

如果是复数，则求转置后变成复数的共轭复数

>> x = [-1:-1:-3];
>> y = sqrt(x)
y =
0.0000 + 1.0000i   0.0000 + 1.4142i   0.0000 + 1.7321i
>> y'
ans =
0.0000 - 1.0000i
0.0000 - 1.4142i
0.0000 - 1.7321i
>>

2）点积

点积是将两个矢量中的对应元素相乘再求和的过程

>> A = [1,2,3];
>> B = [4,5,6];
>> Y = A .* B
Y =
4    10    18
>> sum(Y)
ans =
32

或者可以直接写成

>> sum(A.*B)
ans =
32
>>

MATLAB中的函数dot可以实现点积运算

>> dot(A,B)
ans =
32
>>

不论A和B是行矢量还是列矢量，只要有具有相同的元素个数就可以进行点积运算

3）矩阵乘法

矩阵乘法的结果是一个数组，它由每个元素做点积得到

>> A = [1,2,3;4,5,6];
>> B = [10,20,30;40,50,60;70,80,90];
>> C = A * B
C =
300   360   420
660   810   960
>>

注意A的列数必须和B的行数相等。矩阵乘法不满足交换律

4）矩阵的幂

求矩阵的幂就是按照需要的次数，对矩阵本身做乘法运算。

在做幂运算时，矩阵必须是方阵，有相同的行和列。

>> A = randn(3)
A =
0.5377    0.8622   -0.4336
1.8339    0.3188    0.3426
-2.2588   -1.3077    3.5784
>> A ^ 2
ans =
2.8496    1.3054   -1.4893
0.7967    1.2347    0.5401
-11.6957   -7.0438   13.3363
>>

求A矩阵的2词幂运算不等于求A的数组2次幂运算

>> A
A =
0.5377    0.8622   -0.4336
1.8339    0.3188    0.3426
-2.2588   -1.3077    3.5784
>> C = A .^ 2
C =
0.2891    0.7433    0.1880
3.3631    0.1016    0.1174
5.1024    1.7100   12.8049
>>

它相当于对每一项求平方。

5）矩阵的逆

对于一个函数而言，逆运算是指对函数去反

一个函数乘以它的反函数等于1

MATLAB提供两种实现矩阵逆矩阵的方法，一种是求矩阵A的-1次幂

>> A ^ -1
ans =
-0.3349    0.5309   -0.0914
1.5466   -0.1991    0.2065
0.3538    0.2623    0.2972
>>

另外一种是用内置函数inv

>> inv(A)
ans =
-0.3349    0.5309   -0.0914
1.5466   -0.1991    0.2065
0.3538    0.2623    0.2972
>>

不管采用哪一种方法，矩阵A及逆矩阵的乘积总为单位矩阵

>> inv(A) * A
ans =
1.0000   -0.0000   -0.0000
0    1.0000    0.0000
0.0000   -0.0000    1.0000
>>

不存在逆矩阵的矩阵叫做奇异矩阵

6）行列式

行列式的手工求法有多种

MATLAB中使用函数det求得

>> A = [1,2;3,4];
>> det(A)
ans =
-2

7）叉积

叉积又称矢量积，它与点积不同，叉积的结果为矢量。结果矢量通常与两个输入矢量所在的平面垂直，这种性质称为正交性。

>> A = [1,2,3];
>> B = [4,5,6];
>> cross(A,B)
ans =
-3     6    -3

叉积的记过必须与矢量A和B所在的平面垂直，也就是说它必须垂直于x-y平面，那就只有是corss(A,B）方向的向量满足这一条件。

2.求解线性方程组

1）利用矩阵的逆运算求解方程

方程组：AX = B

则：X = INV(A) * B

>> A = [3,2,-1;-1,3,2;1,-1,-1];
>> B = [10;5;-1];
>> X = inv(A) * B
X =
-2.0000
5.0000
-6.0000
>>

利用行阶梯形矩阵化简：

>> C = [A,B];
>> rref(C)
ans =
1     0     0    -2
0     1     0     5
0     0     1    -6
>>

3.特殊矩阵

本节将重点介绍可以产生特殊矩阵的MATLAB函数

ones和zeros可以创建全0矩阵和全1矩阵，当输入量为单个变量时，结果为方阵，当输入量为两个时，他们分别表示矩阵的行数和列数。

>> ones(3)
ans =
1     1     1
1     1     1
1     1     1

>> zeros(2,3)
ans =
0     0     0
0     0     0
>>

单位矩阵

>> A = eye(3)
A =
1     0     0
0     1     0
0     0     1
>>

>> B = eye(3,2)
B =
1     0
0     1
0     0
>>