白话经典算法系列之七 堆与堆排序

转载请标明出处，原文地址：http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/6709644

堆的操作——插入删除

下面先给出《数据结构C++语言描述》中最小堆的建立插入删除的图解，再给出本人的实现代码，最好是先看明白图后再去看代码。

堆的插入

每次插入都是将新数据放在数组最后。可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序数据中——这就类似于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中，对照《白话经典算法系列之二
直接插入排序的三种实现》不难写出插入一个新数据时堆的调整代码：

[cpp] view
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//  新加入i结点  其父结点为(i - 1) / 2  

void MinHeapFixup(int a[], int i)  

{  

    int j, temp;  

      

    temp = a[i];  

    j = (i - 1) / 2;      //父结点  

    while (j >= 0 && i != 0)  

    {  

        if (a[j] <= temp)  

            break;  

          

        a[i] = a[j];     //把较大的子结点往下移动,替换它的子结点  

        i = j;  

        j = (i - 1) / 2;  

    }  

    a[i] = temp;  

}  

更简短的表达为：

[cpp] view
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void MinHeapFixup(int a[], int i)  

{  

    for (int j = (i - 1) / 2; (j >= 0 && i != 0)&& a[i] > a[j]; i = j, j = (i - 1) / 2)  

        Swap(a[i], a[j]);  

}  

插入时：

[cpp] view
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//在最小堆中加入新的数据nNum  

void MinHeapAddNumber(int a[], int n, int nNum)  

{  

    a
 = nNum;  

    MinHeapFixup(a, n);  

}  

堆的删除

按定义，堆中每次都只能删除第0个数据。为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点，然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右儿子结点中找最小的，如果父结点比这个最小的子结点还小说明不需要调整了，反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于从根结点将一个数据的“下沉”过程。下面给出代码：

[cpp] view
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//  从i节点开始调整,n为节点总数 从0开始计算 i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2  

void MinHeapFixdown(int a[], int i, int n)  

{  

    int j, temp;  

  

    temp = a[i];  

    j = 2 * i + 1;  

    while (j < n)  

    {  

        if (j + 1 < n && a[j + 1] < a[j]) //在左右孩子中找最小的  

            j++;  

  

        if (a[j] >= temp)  

            break;  

  

        a[i] = a[j];     //把较小的子结点往上移动,替换它的父结点  

        i = j;  

        j = 2 * i + 1;  

    }  

    a[i] = temp;  

}  

//在最小堆中删除数  

void MinHeapDeleteNumber(int a[], int n)  

{  

    Swap(a[0], a[n - 1]);  

    MinHeapFixdown(a, 0, n - 1);  

}  

堆化数组

有了堆的插入和删除后，再考虑下如何对一个数据进行堆化操作。要一个一个的从数组中取出数据来建立堆吧，不用！先看一个数组，如下图：



很明显，对叶子结点来说，可以认为它已经是一个合法的堆了即20，60， 65， 4， 49都分别是一个合法的堆。只要从A[4]=50开始向下调整就可以了。然后再取A[3]=30，A[2] = 17，A[1] = 12，A[0] = 9分别作一次向下调整操作就可以了。下图展示了这些步骤：



写出堆化数组的代码：

[cpp] view
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//建立最小堆  

void MakeMinHeap(int a[], int n)  

{  

    for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)  

        MinHeapFixdown(a, i, n);  

}  

至此，堆的操作就全部完成了(注1)，再来看下如何用堆这种数据结构来进行排序。

堆排序

首先可以看到堆建好之后堆中第0个数据是堆中最小的数据。取出这个数据再执行下堆的删除操作。这样堆中第0个数据又是堆中最小的数据，重复上述步骤直至堆中只有一个数据时就直接取出这个数据。

由于堆也是用数组模拟的，故堆化数组后，第一次将A[0]与A[n - 1]交换，再对A[0…n-2]重新恢复堆。第二次将A[0]与A[n – 2]交换，再对A[0…n - 3]重新恢复堆，重复这样的操作直到A[0]与A[1]交换。由于每次都是将最小的数据并入到后面的有序区间，故操作完成后整个数组就有序了。有点类似于直接选择排序。

[cpp] view
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void MinheapsortTodescendarray(int a[], int n)  

{  

    for (int i = n - 1; i >= 1; i--)  

    {  

        Swap(a[i], a[0]);  

        MinHeapFixdown(a, 0, i);  

    }  

}  

注意使用最小堆排序后是递减数组，要得到递增数组，可以使用最大堆。

由于每次重新恢复堆的时间复杂度为O(logN)，共N - 1次重新恢复堆操作，再加上前面建立堆时N / 2次向下调整，每次调整时间复杂度也为O(logN)。二次操作时间相加还是O(N * logN)。故堆排序的时间复杂度为O(N * logN)。STL也实现了堆的相关函数，可以参阅《STL系列之四
heap 堆》。

 

 

注1 作为一个数据结构，最好用类将其数据和方法封装起来，这样即便于操作，也便于理解。此外，除了堆排序要使用堆，另外还有很多场合可以使用堆来方便和高效的处理数据，以后会一一介绍。