floyd算法求解最短路径

转自 http://blog.csdn.net/zhongkeli/article/details/8832946
这个算法主要要弄懂三个循环的顺序关系。

弗洛伊德（Floyd）算法过程：

１、用D[v][w]记录每一对顶点的最短距离。

２、依次扫描每一个点，并以其为基点再遍历所有每一对顶点D[][]的值，看看是否可用过该基点让这对顶点间的距离更小。

算法理解：

最短距离有三种情况：

１、两点的直达距离最短。（如下图<v,x>）

２、两点间只通过一个中间点而距离最短。（图<v,u>）

３、两点间用通过两各以上的顶点而距离最短。（图<v,w>）

对于第一种情况：在初始化的时候就已经找出来了且以后也不会更改到。

对于第二种情况：弗洛伊德算法的基本操作就是对于每一对顶点，遍历所有其它顶点，看看可否通过这一个顶点让这对顶点距离更短，也就是遍历了图中所有的三角形（算法中对同一个三角形扫描了九次，原则上只用扫描三次即可，但要加入判断，效率更低）。

对于第三种情况：如下图的五边形，可先找一点（比如x，使<v,u>=2），就变成了四边形问题，再找一点（比如y,使<u,w>=2），可变成三角形问题了（v,u,w），也就变成第二种情况了，由此对于n边形也可以一步步转化成四边形三角形问题。（这里面不用担心哪个点要先找哪个点要后找，因为找了任一个点都可以使其变成（n－1）边形的问题）。



结合代码 并参照上图所示 我们来模拟执行下 这样才能加深理解：

第一关键步骤：当k执行到x，i=v,j=u时，计算出v到u的最短路径要通过x，此时v、u联通了。

第二关键步骤：当k执行到u，i=v，j=y，此时计算出v到y的最短路径的最短路径为v到u，再到y(此时v到u的最短路径上一步我们已经计算过来，直接利用上步结果)。

第三关键步骤：当k执行到y时，i=v，j=w，此时计算出最短路径为v到y(此时v到y的最短路径长在第二步我们已经计算出来了)，再从y到w。

依次扫描每一点(k)，并以该点作为中介点，计算出通过k点的其他任意两点(i,j)的最短距离，这就是floyd算法的精髓！同时也解释了为什么k点这个中介点要放在最外层循环的原因.

对于这个算法,网上有一个证明的版本：

floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在），floyd算法加入了这个概念 Ak(i,j)：表示从i到j中途不经过索引比k大的点的最短路径。

这个限制的重要之处在于，它将最短路径的概念做了限制，使得该限制有机会满足迭代关系，这个迭代关系就在于研究：假设Ak(i,j)已知，是否可以借此推导出Ak-1(i,j)。

假设我现在要得到Ak(i,j)，而此时Ak(i,j)已知，那么我可以分两种情况来看待问题：1. Ak(i,j)沿途经过点k；2. Ak(i,j)不经过点k。如果经过点k，那么很显然，Ak(i,j)
= Ak-1(i,k) + Ak-1(k,j)，为什么是Ak-1呢？因为对(i,k)和(k,j)，由于k本身就是源点（或者说终点），加上我们求的是Ak(i,j)，所以满足不经过比k大的点的条件限制，且已经不会经过点k，故得出了Ak-1这个值。那么遇到第二种情况，Ak(i,j)不经过点k时，由于没有经过点k，所以根据概念，可以得出Ak(i,j)=Ak-1(i,j)。现在，我们确信有且只有这两种情况---不是经过点k，就是不经过点k，没有第三种情况了，条件很完整，那么是选择哪一个呢？很简单，求的是最短路径，当然是哪个最短，求取哪个，故得出式子：

Ak(i,j) = min( Ak-1(i,j), Ak-1(i,k)
+ Ak-1(k,j) )

现在已经得出了Ak(i,j) = Ak-1(i,k)
+ Ak-1(k,j)这个递归式，但显然该递归还没有一个出口，也就是说，必须定义一个初始状态，事实上，这个初始状态取决于索引k是从0开始还是从1开始，上面的代码是C写的，是以0为开始索引，但一般描述算法似乎习惯用1做开始索引，如果是以1为开始索引，那么初始状态值应设置为A0了，A0(i,j)的含义不难理解，即从i到j的边的距离。也就是说，A0(i,j)
= cost(i,j) 。由于存在i到j不存在边的情况，也就是说，在这种情况下，cost(i,j)无限大，故A0(i,j) = oo（当i到j无边时）

到这里，已经列出了求取Ak(i,j)的整个算法了，但是，最终的目标是求dist(i,j)，即i到j的最短路径，如何把Ak(i,j)转换为dist(i,j)？这个其实很简单，当k=n（n表示索引的个数）的时候，即是说，An(i,j)=dist(i,j)。那是因为当k已经最大时，已经不存在索引比k大的点了，那这时候的An(i,j)其实就已经是i到j的最短路径了。

从floyd算法中不难看出，要设计一个好的动态规划算法，首先需要研究是否能把目标进行重新诠释（这一步是最关键最富创造力的一步），转化为一个可以被分解的子目标，如果可以转化，就要想办法寻找数学等式使目标收敛为子目标，如果这一步可以实现了，还需要研究该递归收敛式的出口，即初始状态是否明确（这一步往往已经简单了）。

如果需要保存最短路径，需要借助path数组：

其中我们用 path 数组记录 经过路径 其实 path 的定义如下 path[i][j] = k 表示 是最短路径 i-……j 和 j 的直接 前驱 为 k 即是： i-->...............-->k ->j

举例子：

如 1-> 5->4 4->3->6 此时 path[1][6] = 0 ； 0表示 1->6 不通 当我们 引入 节点 k = 4 此时有 1->5->4->3->6 显然有 paht[1][6] = 3 = paht[4][6] = paht[k][6]

于是有 path[i][j] = path[k][j]

对于 1->5 相邻边 我们可以在初始化时候 有 paht[1][5] = 1;

如是对于 最短路径 1->5->4->3->6 有 paht[1][6] = 3; paht[1][3]= 4; paht[1][4] = 5; paht[1][5] =1 如此逆推不难得到 最短路径记录值 。

[cpp] view
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#include "iostream"

#include "vector"

#include "stack"

#include "fstream"

using namespace std;

std::vector<vector<int> > weight;

std::vector<vector<int> > path;

int vertexnum;

int edgenum;

const int intmax = 10000;

void initialvector(){

weight.resize(vertexnum);//路径权重数组

path.resize(vertexnum);//保存最短路径数组,记录前继

for(int i = 0;i < vertexnum;i++){//建立数组

weight[i].resize(vertexnum,intmax);

path[i].resize(vertexnum,-1);

}

}

void getData(){//获取数据

ifstream in("data");

in>>vertexnum>>edgenum;

initialvector();

int from,to;

double w;

while(in>>from>>to>>w){

weight[from][to] = w;

path[from][to] = from;//to的前继是from

weight[from][from] = 0;//自身到自身的权重为0

path[from][from] = from;

weight[to][to] = 0;

path[to][to] = to;

}

}

void floyd(){

for(int k = 0;k < vertexnum;k++)

for(int i= 0;i < vertexnum;i++)

for(int j = 0;j < vertexnum;j++){

if((weight[i][k] > 0 && weight[k][j] && weight[i][k] < intmax && weight[k][j] < intmax) && (weight[i][k] + weight[k][j] < weight[i][j])){//前面一部分是防止加法溢出

weight[i][j] = weight[i][k] + weight[k][j];

path[i][j] = path[k][j];

}

}

}

void displaypath(int source,int dest){

stack<int> shortpath;

int temp = dest;

while(temp != source){

shortpath.push(temp);

temp = path[source][temp];

}

shortpath.push(source);

cout<<"short distance:"<<weight[source][dest]<<endl<<"path:";

while(!shortpath.empty()){

cout<<shortpath.top()<<" ";

shortpath.pop();

}

}

int main(int argc, char const *argv[])

{

getData();

for(int i = 0;i < vertexnum;i++){

for(int j = 0;j < vertexnum;j++){

cout<<weight[i][j]<<"\t";

}

cout<<endl;

}

floyd();

displaypath(2,1);

return 0;

}

数据：

6 9

0 1 3

0 3 4

0 5 5

1 2 1

1 5 5

2 3 5

3 1 3

4 3 3

4 5 2

5 3 2

参考：http://chenchuangfeng.iteye.com/blog/1816976

/article/4883156.html

/article/10578679.html

/article/2390581.html

http://nopainnogain.iteye.com/blog/1047818

/article/8229580.html

/article/7904757.html