机器学习（一）线性回归

线性回归

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作者：hjimce

假设对于输入数据X(x1，x2……xn)，输出数据y，对于线性回归我的简单理解就是线性拟合。因为为之前就对拟合这个词比较熟悉，对于最小二乘也是比较熟悉的。对于输入数据X，输出数据y，线性回归的基础公式为：



其中x1，x2……xn表示的是数据X的特征，而x0=1是固定的。我们希望根据已经给定的m个数据集data，求解出未知的参数，θ0,、θ1、θ2…。其实求解这个公式最简单的办法就是最小二乘。根据已给定的m个数据，我们可以列出m个方程组：



公式简化为：



如果m=n那么方程组刚好有唯一的解，如果m>n那么就要用最小二乘的公式求解超静定方程组了。以上的公式可以叫做均匀权的线性回归公式，因为每个数据点构造的方程组的权重都一样，如果每个数据点的权重不一样，那么就叫做加权的线性回归了，此时公式演化为：



这里重点讲解如何用梯度下降法求解，因为梯度下降法可以说是机器学习算法中的基础，学好梯度下降法，后面神经网络、逻辑回归这些就变得相对简单了。

现在先开始推导梯度下降法。定义代价函数为：



其中：


这里需要说明的是上标表示数据点的号码，下表表示参数的编号。

我们希望代价函数J(θ)最小化，即：


而求解这个函数的极小值，就需要对函数J(θ)求偏导，然后令个个偏导方程为0：



其中：



然后联立这n个方程组，求解可得个个参数，其实最后联立出来求解结果，就是最小二乘的求解方法了。梯度下降法与最小二乘的求解方法不一样，梯度下降法是一个迭代公式：



其中公式中的符号“：”表示迭代更新的意思。

因此梯度下降法最后求解公式为：



接着根据公式进行求解，matlab的代码如下：

close all;
clear;
clc;
x=importdata('ex2x.dat');
y=importdata('ex2x.dat');
data(:,2)=x;
data(:,1)=1;
plot(x,y,'.y');
[m,n]=size(data);
dim=2;
w=zeros(n,1);

%梯度下降法
sigma=0.05;
i=1;
while i<1000
%残差
for j=1:n
r=1./m*sum((data*w-y).*data(:,j));
w(j)=w(j)-sigma*r;
end
i=i+1;
end
%line([2,8],[w(1)+w(2)*2,w(1)+w(2)*8]);
%最小二乘法
w2=inv(data'*data)*(data'*y);

原数据 拟合结果
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