FFT算法实现——基于GPU的基2快速傅里叶变换

最近做一个东西，要用到快速傅里叶变换，抱着蛋疼的心态，自己尝试写了一下，遇到一些问题。

首先看一下什么叫做快速傅里叶变换（FFT）（来自Wiki）：

快速傅里叶变换（英语：Fast Fourier Transform, FFT），是离散傅里叶变换的快速算法，也可用于计算离散傅里叶变换的逆变换。快速傅里叶变换有广泛的应用，如数字信号处理、计算大整数乘法、求解偏微分方程等等。

对于复数串行

，离散傅里叶变换公式为：



直接变换的计算复杂度是O(n^2).快速傅里叶变换可以计算出与直接计算相同的结果，但只需要O(nlogn)的计算复杂度。


首先，看一个概念叫做N次单位复根：复数WN^n = 1。N次单位复根一共有N个，分别为：W(k,N) = cis(2*PI*k/N),k=0,1,...,n-1

其中cis(u) = e^i*u = cos(u) + isin(u)（欧拉公式）


N次单位复根有如下性质：

W(k+N,N) = W(k,N)

W(k+N/2,N) = -W(k,N)

W(dk,dN) = W(k,N) (d>0)

库利-图基算法：

将长度为N的序列分成两个N/2的子序列N1和N2，其中N1是原来序列的奇数项，N2为偶数项。

将离散傅里叶变换写成：

N(x) = ∑(j=0,n-1)aj*xj x = W(k,N)

分解后有：

N1(x) = a0 + a2*x + a4*x^2 + ... + a(n-2)*x^(n/2-1)……1

N2(x) = a1 + a3*x + a5*x^2 + ... + a(n-1)*x^(n/2-1)……2

N(x) = N1(x^2) + x*N2(x^2)……3

就这样将(W(0,N))^2,(W(1,N))^2,...,(W(N-1,N))^2一个一个往1，2式代，然后根据3式组合就可以得到结果了。

按照相同的办法，将此式递归下去，最终就可以得到结果。这就是库利-图基算法的大概思想。

语言描述起来很抽象，使用蝴蝶网络来表示，就可以一目了然：





如图，展示了一个N=8的快速傅里叶变换执行流程。

按照这种算法，可以很快写出递归算法类C伪代码：

Array recursive_fft(a)
{
int n =  a.lengh();
if(n=1)
return a;
W wn = e^2*PI*i/n;
W w = 1;
Array a0 = {a0,a2,a3……a(n-2)};
Array a1 = {a1,a3,a5……a(n-1)};
Array y0 = recursive(a[0]);
Array y1 = recursive(a[1]);
Array y;
for(int k = 0;k<=n/2-1;++k)
{
y[k] = y0[k]+wy1[k];
y[k+n/2] = y0[k]-wy1[0];
w *= wn
}
return y;
}

然而，FFT在实际应用中往往需求很高的效率，虽然都是O(n*logn)d的时间复杂度，但是在递归的实现算法中，隐含的常数更大（这点可以参考《算法导论》的相关内容，这里不做具体讨论）。并且，递归的方案也不好用GPU实现。
所以需要实现迭代的FFT，参考算法导论相代码实现如下：

#pragma once
#include "RBVector2"

class RBFFTTools
{
public:
static void iterative_fft(RBVector2 *v,RBVector2 *out,int len)
{
bit_reverse_copy(v,out,len);
int n = len;
for (int s = 1; s <= log(n)/log(2);s++)
{
int  m = pow(2, s);
RBVector2 wm(cos(2 * PI / m), sin(2 * PI / m));
for (int k = 0; k < n ;k+=m)
{
RBVector2 w = RBVector2(1,0);
for (int j = 0; j < m / 2;++j)
{
RBVector2 vv = out[k + j + m / 2];
RBVector2 t = RBVector2(w.x*vv.x - w.y*vv.y,w.x*vv.y+w.y*vv.x);
RBVector2 u = out[k + j];
out[k + j] = RBVector2(u.x+t.x,u.y+t.y);
out[k + j + m / 2] = RBVector2(u.x-t.x,u.y-t.y);
w = RBVector2(w.x*wm.x - w.y*wm.y, w.x*wm.y + w.y*wm.x);
}
}
}
}
//逆变换
static void iterative_ifft(RBVector2 *v, RBVector2 *out, int len)
{
bit_reverse_copy(v, out, len);
int n = len;
for (int s = 1; s <= log(n)/log(2); s++)
{
int  m = pow(2, s);
RBVector2 wm(cos(2 * PI / m), sin(2 * PI / m));
for (int k = 0; k < n; k += m)
{
RBVector2 w = RBVector2(1, 0);
for (int j = 0; j < m / 2; ++j)
{
RBVector2 vv = out[k + j + m / 2];
RBVector2 t = RBVector2(w.x*vv.x - w.y*vv.y, w.x*vv.y + w.y*vv.x);
RBVector2 u = out[k + j];
out[k + j] = RBVector2(u.x + t.x, u.y + t.y);
out[k + j + m / 2] = RBVector2(u.x - t.x, u.y - t.y);
w = RBVector2(w.x*wm.x + w.y*wm.y, -w.x*wm.y + w.y*wm.x);
}
}
}

for (int i = 0; i < n;++i)
{
out[i].x /= n;
out[i].y /= n;
}

}
private:
static void bit_reverse_copy(RBVector2 src[], RBVector2 des[], int len)
{
for (int i = 0; i < len;i++)
{
des[bit_rev(i, len-1)] = src[i];
}
}

public:
static unsigned int bit_rev(unsigned int v, unsigned int maxv)
{
unsigned int t = log(maxv + 1)/log(2);
unsigned int ret = 0;
unsigned int s = 0x80000000>>(31);
for (unsigned int i = 0; i < t; ++i)
{
unsigned int r = v&(s << i);
ret |= (r << (t-i-1)) >> (i);
}
return ret;
}
};

上面的代码出现了两个函数：bit_reverse_copy()和bit_rev()，这两个函数用于将初始数据按照bit反转顺序进行排序。

bit反转看下面例子就可了然：

000	000
001	100
010	010
011	110
100	001
101	101
110	011
111	111

即把所有bit位冲头到尾颠倒一次。

上面iterative_ifft()是逆变换，逆变换很简单就可以修改出来，只需要根据W的性质进行修改W的更新，以及除以一个N就可以了。

运行结果如下：




基于GPU的FFT

这里使用OpenGL的Fragment Shader来实现FFT，我使用了两个浮点纹理作为输入，一个纹理表示蝴蝶网络，一个表示当前的输入数据：

一个N（2的幂）的FFT需要迭代log_2(N)次，蝴蝶网络和输入数据每次迭代都会更新，更新的数据用于下次迭代输入，输出的数据使用FBO来暂存，效率还可以。

蝴蝶网络的单元结构如下：



输入数据仅用了四个通道中的前两个，用来存放数据的实部和虚部。

GPU算法可以通过蝴蝶网络图很容易的得出：



观察此图，可以发现：

每次迭代都需要输出数据，输出的数据由下图计算方案决定：



W(r,N)就储存在对应的蝴蝶网络纹理中，取出来就可以了。

另外，每次迭代后都要对于蝴蝶网络更新，更新的内容包括：

更新W和更新对应项的索引x，y值，由上图可以知道，W只需下标乘以2得到Nnew，上标依次从零到Nnew，以此2循环即可。因为转换一下就可以知道，W的变换其实是下面这个规律：

W(0,2) W(0,4) W(0,8) W(0,16) ……

W(1,2) W(1,4) W(1,8) W(1,16) ……

W(2,4) W(2,8) W(2,16) ……

W(3,4) W(3,8) W(3,16) ……

W(4,8) W(4,16) ……

W(5,8) .................

W(6,8) .................

W(7,8) .................

.................

而索引的变换就更加简单了，加上当前的迭代次数即可。

思路很简单，但是调试的时候很蛋疼，给出的代码使用了OpenFrameworks提供的OpenGL框架：

#include "ofApp.h"
#include "time.h"

time_t t_s1,t_e1;
time_t t1,t2;

void ofApp::setup()
{
ofDisableArbTex();
imag_test.loadImage("1.jpg");

first = true;
N = 1024;
cur = 0;

source = new RBVector2[N*N];
rev_source = new RBVector2[N*N];
out = new RBVector2[N*N];

//禁用Alpha混合，否则绘制到FBO会混合Alpha,造成数据丢失
ofDisableAlphaBlending();

for(int i=0;i<2;i++)
{
weight_index[i].allocate(N,N,GL_RGBA32F);
res_back[i].allocate(N,N,GL_RGBA32F);
data[i].allocate(N,N,ofImageType::OF_IMAGE_COLOR_ALPHA);
}
//初始化蝴蝶网络
for(int i=0;i<N;i++)
{
for(int j=0;j<N;j++)
{
if(j%2==0)
data[0].setColor(j,i,ofFloatColor(0.f,2.f,(float)((i*N+j+1)%N),(float)((i*N+j+1)/N)));
else
data[0].setColor(j,i,ofFloatColor(1.f,2.f,(float)((i*N+j-1)%N),(float)((i*N+j-1)/N)));
}
}
//初始化原始数据，这里使用随机数
for(int i=0;i<N*N;i++)
{
float s1 = ofRandomf();
float s2 = ofRandomf();
source[i] = RBVector2(s1,s2);
}
t_s1 = time(0);
bit_reverse_copy(source,rev_source,N*N);
t_e1= time(0);
t2 = t_e1 - t_s1;
//初始化到纹理数据
for(int i=0;i<N;i++)
{
for(int j=0;j<N;j++)
{
data[1].setColor(j,i,ofFloatColor(rev_source[i*N+j].x,rev_source[i*N+j].y,0,1));
}
}

data[0].update();
data[1].update();

weight_index[0].begin();
data[0].draw(0,0,N,N);
weight_index[0].end();

res_back[0].begin();
data[1].draw(0,0,N,N);
res_back[0].end();

ofSetWindowShape(1280,720);
weight_index_shader.load("normalv.c","generate_weight_and_index_f.c");
gpu_fft_shader.load("normalv.c","gpu_fft_f.c");

t_s1 = time(0);
//CPU变换
RBFFTTools::iterative_fft(source,out,N*N);
t_e1 = time(0);

t1 = t_e1 - t_s1;
}

//--------------------------------------------------------------
void ofApp::draw()
{
if(first)
{
t_s1 = time(0);

for(int i = 1;i<N*N;i*=2)
{

res_back[1-cur%2].begin();

//更新输出
gpu_fft_shader.begin();
gpu_fft_shader.setUniform1i("size",N);
gpu_fft_shader.setUniform1i("n_step",i);
gpu_fft_shader.setUniform3f("iResolution",N,N,0);
gpu_fft_shader.setUniformTexture("tex_index_weight",weight_index[cur].getTextureReference(),1);
gpu_fft_shader.setUniformTexture("tex_res_back",res_back[cur].getTextureReference(),2);
gpu_fft_shader.setUniformTexture("test",imag_test.getTextureReference(),4);
ofRect(0,0,N,N);
gpu_fft_shader.end();
res_back[1-cur%2].end();

//更新蝴蝶网络数据
weight_index[1-cur%2].begin();
weight_index_shader.begin();
weight_index_shader.setUniform1i("size",N);
weight_index_shader.setUniform1i("n_step",i);
weight_index_shader.setUniform3f("iResolution",N,N,0);
weight_index_shader.setUniformTexture("tex_input",weight_index[cur].getTextureReference(),1);
ofRect(0,0,N,N);
weight_index_shader.end();
weight_index[1-cur%2].end();

cur = 1 - cur%2;
}
t_e1= time(0);
t2 += (t_e1 - t_s1);

cout<<"==================↓gpu================"<<endl;
//输出GPU计算结果
for(int i=0;i<N;i++)
{
for(int j=0;j<N;j++)
{
//cout<<s.getColor(j,i).r<<","<<s.getColor(j,i).g<<endl;
}
}
cout<<"==================↓cpu================"<<endl;
//输出CPU计算结果
for(int i=0;i<N;i++)
{
for(int j=0;j<N;j++)
{
int index = i*N+j;
//cout<<out[index].x<<","<<out[index].y<<endl;
}
}
cout<<"===================================="<<endl;
//对比CPU和GPU计算结果
for(int i=0;i<N;i++)
{
for(int j=0;j<N;j++)
{

float rx = s.getColor(j,i).r;
float ry = s.getColor(j,i).g;
int index = i*N+j;
float delta = 0.1;
if(abs(rx-out[index].x)>delta||abs(ry-out[index].y)>delta)
{
//数据在误差范围外，出错
goto wrong;
//cout<<s.getColor(j,i).r<<","<<s.getColor(j,i).g<<"|"<<out[index].x<<","<<out[index].y<<endl;
}
else
{
//cout<<s.getColor(j,i).r<<","<<s.getColor(j,i).g<<","<<s.getColor(j,i).b<<","<<s.getColor(j,i).a<<endl;
}

}
}
cout<<"CPU:"<<t1<<endl<<"GPU:"<<t2<<endl;
first = !first;
}

if(false)
{
wrong:
printf("wrong!!!\n");
}
//绘制数据输入纹理和数据输出纹理
res_back[cur].draw(N,0,N,N);
data[1].draw(0,0,N,N);
}

更新数据Shader：

#version 130
uniform sampler2D tex_index_weight;
uniform sampler2D tex_res_back;
uniform sampler2D test;
uniform int size;
uniform int n_step;

uniform vec3 iResolution;

out vec4 outColor;

void main()
{
vec2 tex_coord = gl_FragCoord.xy/iResolution.xy;

float cur_x = gl_FragCoord.x - 0.5;
float cur_y = gl_FragCoord.y - 0.5;

vec2 outv;

vec4 temp = texture(tex_index_weight,tex_coord);
vec2 weight = vec2(cos(temp.r/temp.g*2*3.141592653),sin(temp.r/temp.g*2*3.141592653));
vec2 _param2_index = temp.ba;

vec2 temp_param2_index = _param2_index;
temp_param2_index.x += 0.5;
temp_param2_index.y += 0.5;
vec2 param2_index = temp_param2_index/iResolution.xy;

vec2 param1 = texture(tex_res_back,tex_coord).rg;
vec2 param2 = texture(tex_res_back,param2_index).rg;

int tex_coord_n1 = int((cur_y*size)+cur_x);
int tex_coord_n2 = int((_param2_index.y*size)+_param2_index.x);

if(tex_coord_n1<tex_coord_n2)
{
outv.r = param1.r + param2.r*weight.r-weight.g*param2.g;
outv.g = param1.g +weight.r*param2.g + weight.g*param2.r;
}
else
{
outv.r = param2.r + param1.r*weight.r-weight.g*param1.g;
outv.g = param2.g +weight.r*param1.g + weight.g*param1.r;
}

outColor = vec4(outv,0,1);

}

更新蝴蝶网络Shader：

#version 130

uniform sampler2D tex_input;
uniform int size;
uniform int n_total;
uniform int n_step;

in vec3 normal;
uniform vec3 iResolution;
out vec4 outColor;

void main()
{
vec2 tex_coord = gl_FragCoord.xy/iResolution.xy;
float cur_x = gl_FragCoord.x - 0.5;
float cur_y = gl_FragCoord.y - 0.5;

vec4 outv;
int tex_coord_n = int((cur_y*size)+cur_x);

//updata weight
vec2 pre_w = texture(tex_input,tex_coord).rg;
float i = pre_w.r;
float n = pre_w.g;
float new_i;
float new_n;
new_i = i;
new_n = n*2;
if(tex_coord_n%(n_step*4) > n_step*2-1)
{
new_i += n_step*2;
}
outv.r = new_i;
outv.g = new_n;

//updata index
vec2 pre_index = texture(tex_input,tex_coord).ba;
int x = int(pre_index.x);
int y = int(pre_index.y);
int ni = n_step*2;
int new_tex_coord_n = tex_coord_n;
if((tex_coord_n/ni)%2==0)
{
new_tex_coord_n += ni;
}
else
{
new_tex_coord_n -= ni;
}
outv.b = new_tex_coord_n%size;
outv.a = new_tex_coord_n/size;

outColor = outv;
}

用time大概对比了一下GPU和CPU的计算时间，结果如下：



N = 512*512的情况下，误差在0.1以内，在我的应用情况下是可以接受的，更高的数据意味着更多的迭代次数，会进一步降低数据精度，目前还没有解决误差问题。

运行50次，大概对比如下，不是很准确，仅供参考：