【算法】最大连续子数组 （暴力法、分治法、分析法、动态规划法）

最大连续子数组
（暴力法、分治法、分析法、动态规划法）

给定一个数组A[0,…,n-1]，求A的连续子数组，使得该子数组的和最大。

例如

 数组： 1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，

 最大子数组：3, 10, -4, 7, 2

1、 暴力法(时间复杂度O(n3))

直接求解A[i,…j]的值

0≤ i < n

i≤ j < n

class Solution:
'''
暴力法，时间复杂度O(n3)
@param nums:an integer[]
@return: an integer
'''
def maxSubArray(self,nums):
maxsum=0
begin=0
end=0
for i in range(8):
for j in range(i,8):
tempsum=sum(nums[i:j+1])   #子数组的和
if tempsum>maxsum:
maxsum=tempsum
begin=i
end=j
return begin,end,maxsum,nums[begin:end+1]

if __name__ == '__main__':
solution=Solution()
nums=[1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5]
print solution.maxSubArray(nums)

2、分治法（时间复杂度O（nlogn））

class Solution:
'''
分治法
@param nums:an integer[]
@return: an integer

'''
def maxSubArray(self,nums):
begin=0
end=len(nums)-1
if begin==end:
return nums[begin]

middle=(begin+end)/2
m1=self.maxSubArray(nums[begin:(middle+1)])
m2=self.maxSubArray(nums[(middle+1):(end+1)])

#中间分别向左和向右扫描找到最大后缀和最大前缀
left=nums[middle]
now=nums[middle]
for i in range(middle-1,begin-1,-1):
now+=nums[i]
left=max(left,now)

right=nums[middle+1]
now=nums[middle+1]
for i in range(middle+2,end+1,1):
now+=nums[i]
right=max(right,now)
m3=left+right

return max(m1,m2,m3)

3、 分析法（时间复杂度O（n））

算法过程

1. 求i前缀p[i]：

 遍历i：0≤i ≤n-1

 p[i]=p[i-1]+A[i]

2. 计算p[i]-p[j]

 遍历i：0≤i ≤n-1，求最小值m

 m的初值取0(P[-1]=0)，然后遍历p[0…i-1]，更新m

 p[i]-m即为以a[i]结尾的数组中最大的子数组

3. 在第2步中，可顺手记录p[i]-m的最大值。

class Solution:
'''
分析法
@param nums:an integer[]
@return: an integer
'''
def maxSubArray(self,nums):
#计算前i项的和
n=len(nums)
p=[]
p.append(nums[0])
m=0
maxsum=p[0]-m
for i in range(1,n):
p.append(p[i-1]+nums[i])
if m>p[i-1]:
m=p[i-1]
if maxsum<p[i]-m:
maxsum=p[i]-m
return maxsum

4、动态规划法（O（n））

记S[i]为以A[i]结尾的数组中和最大的子数组

则：S[i+1] = max(S[i]+A[i+1], A[i+1])

S[0]=A[0]

遍历i： 0≤i ≤n-1

class Solution:
'''
动态规划
@param nums:an integer[]
@return: an integer
'''
def maxSubArray(self,nums):
result=nums[0]
sum=nums[0]
for num in nums[1:]:
if sum>0:
sum+=num
else:
sum=num
if sum>result:
result=sum
return result

参考

july4月算法 邹博PPT