堆(heap)

堆是一个完全二叉树(除最后一层外，每一层上的节点数均达到最大值，在最后一层上只缺少右边的几个节点)，用一个一维数组来实现。堆中存储的数是局部有序的。堆分为最大堆和最小堆：对于最大堆，任意一个节点的值都大于或等于其任意一个子节点的值，所以根节点一定是堆中的最大值；对于最小堆，任意一个节点的值都小于或等于其任意一个子节点的值，所以根节点一定是堆中的最小值。这和优先队列一样，都是将优先级最高的放在队首。

堆的基本操作:

删除优先级最高的元素

DeleteMin()

。

(1)直接删除根。

(2)用最后一个元素代替根。

(3)将堆向下重新调整。

如果是最小堆，则从根节点开始，选取当前节点p的较小的儿子节点。如果比p大，则停止调整，否则交换p和儿子，继续调整。

堆向下调整算法：

//最小堆的调整
void down(int p)//p为根节点
{
int q = 2 * p;//q为子节点
a = heap[p];
while (q <= hlength)
{
if (q < hlength && heap[q] > heap[q + 1])//选择较小的一个子节点
{
q++;
}
if (heap[q] >= a)//如果较小的子节点比根节点大，调整停止
{
break;
}
else          //否则
{
heap[p] = heap[q];//交换
p = q;//原来的子节点变为根节点
q = 2 * p;//新的子节点
}
}
heap[p] = a;//安排原来的节点
}

删除最小元素，返回该最小元素：

int DeleteMin()
{
int r = heap[1];//取出最小元素
heap[1] = heap[hlength--];//把最后一个叶子节点赋给根节点
down(1);//向下调整
return r;
}

在堆中插入一个最新元素

Insert(x)

。

将要插入的元素添加到末尾

向上调整

如果是最小堆，比较当前节点p和父亲节点q，如果父亲q比当前节点p小，则停止；否则交换当前节点p和父亲节点q，向上调整。

堆向上调整算法：

//最小堆的调整
void up(int p)//p为根节点
{
int a = heap[p];//保存根节点
int q = p / 2;
while (q >= 1 && a < heap[q])//当前节点的值比父节点的值小
{
heap[p] = heap[q];
p = q;//新的父节点
q = p / 2;//新的子节点
}
heap[p] = a;//安排原来的节点
}

插入元素算法：

void insert(int a)
{
heap[++hlength] = a;//将要插入的元素添加到末尾
up(hlength);//向上调整
}

将p的优先级上升为a：

IncreaseKey(p, a)

。

void IncreaseKey(int p, int a)//把p的优先级升为a
{
if (heap[p] < a)
{
return a;
}
heap[p] = a;
up(p);
}

建立堆

Build(x)

。

void Build()
{
for (int i = hlength / 2; i > 0; i--)
{
down(i);//从最后一个非终端节点开始进行调整
}
}

堆的时间复杂度分析：

向上调整、向下调整，每层是常数级别，共log(n)层，因此O(long n)。

插入、删除只调用一次向上或向下调整，因此都是O(long n)。