“《算法导论》之‘排序’”:堆排序
2015-04-13 16:32
176 查看
关于堆排序的介绍主要引自一博文,比较详细的例子可参考另一博文。
动画演示可以参考一网页。
关于二叉堆,有一博文二叉堆(一)之 图文解析写的很清晰详细,很值得参考。
通常给定节点i,可以根据其在数组中的位置求出该节点的父亲节点、左右孩子节点,这三个过程一般采用宏或者内联函数实现。书(《算法导论》)上介绍的时候,数组的下标是从1开始的,所以可得到:PARENT(i)=i/2 LEFT(i) = 2*i RIGHT(i) = 2*i+1。
注:个人在程序实现的时候默认是从0开始的,因此left = 2*i+1, right = 2*i+2。
根据节点数值满足的条件,可以将分为最大堆和最小堆。最大堆的特性是:除了根节点以外的每个节点i,有A[PARENT(i)] >= A[i],最小堆的特性是:除了根节点以外的每个节点i,有A[PARENT(i)] >=A[i]。
把堆看成一个棵树,有如下的特性:
1)含有n个元素的堆的高度是lgn。
2)当用数组表示存储了n个元素的堆时,叶子节点的下标是n/2+1,n/2+2,……,n。
3)在最大堆中,最大元素该子树的根上;在最小堆中,最小元素在该子树的根上。
从图中可以看出,在节点i=2时,不满足最大堆的要求,需要进行调整,选择节点2的左右孩子中最大一个进行交换,然后检查交换后的节点i=4是否满足最大堆的要求,从图看出不满足,接着进行调整,直到没有交换为止。
(1)创建最大堆,数组第一个元素最大,执行后结果下图:
(2)进行循环,从length(A)到1,并不断的调整最大堆,给出一个简单过程如下:
完整程序请见Github.
动画演示可以参考一网页。
关于二叉堆,有一博文二叉堆(一)之 图文解析写的很清晰详细,很值得参考。
堆
堆给人的感觉是一个二叉树,但是其本质是一种数组对象,因为对堆进行操作的时候将堆视为一颗完全二叉树,树中每个节点与数组中的存放该节点值的那个元素对应。所以堆又称为二叉堆,堆与完全二叉树的对应关系如下图所示:通常给定节点i,可以根据其在数组中的位置求出该节点的父亲节点、左右孩子节点,这三个过程一般采用宏或者内联函数实现。书(《算法导论》)上介绍的时候,数组的下标是从1开始的,所以可得到:PARENT(i)=i/2 LEFT(i) = 2*i RIGHT(i) = 2*i+1。
注:个人在程序实现的时候默认是从0开始的,因此left = 2*i+1, right = 2*i+2。
根据节点数值满足的条件,可以将分为最大堆和最小堆。最大堆的特性是:除了根节点以外的每个节点i,有A[PARENT(i)] >= A[i],最小堆的特性是:除了根节点以外的每个节点i,有A[PARENT(i)] >=A[i]。
把堆看成一个棵树,有如下的特性:
1)含有n个元素的堆的高度是lgn。
2)当用数组表示存储了n个元素的堆时,叶子节点的下标是n/2+1,n/2+2,……,n。
3)在最大堆中,最大元素该子树的根上;在最小堆中,最小元素在该子树的根上。
保持堆的性质
堆个关键操作过程是如何保持堆的特有性质,给定一个节点i,要保证以i为根的子树满足堆性质。书中以最大堆作为例子进行讲解,并给出了递归形式的保持最大堆性的操作过程MAX-HEAPIFY(注:我的程序中名为adjustHeap)。先从看一个例子,操作过程如下图所示:从图中可以看出,在节点i=2时,不满足最大堆的要求,需要进行调整,选择节点2的左右孩子中最大一个进行交换,然后检查交换后的节点i=4是否满足最大堆的要求,从图看出不满足,接着进行调整,直到没有交换为止。
建堆
建立最大堆的过程是自底向上地调用最大堆调整程序将一个数组A[1.....N]变成一个最大堆。将数组视为一颗完全二叉树,从其最后一个非叶子节点(n/2)开始调整。调整过程如下图所示:堆排序算法
堆排序算法过程为:先调用创建堆函数将输入数组A[1...n]造成一个最大堆,使得最大的值存放在数组第一个位置A[1],然后用数组最后一个位置元素与第一个位置进行交换,并将堆的大小减少1,并调用最大堆调整函数从第一个位置调整最大堆。给出堆数组A={4,1,3,16,9,10,14,8,7}进行堆排序简单的过程如下:(1)创建最大堆,数组第一个元素最大,执行后结果下图:
(2)进行循环,从length(A)到1,并不断的调整最大堆,给出一个简单过程如下:
代码实现
void HeapSort::sort() { buildHeap(); for (int i = 0; i < len; i++) { int hLen = len - i; // It is been done in buildHeap() when i = 0 if (i != 0) adjustHeap(0, hLen); exchange(0, hLen - 1); } } void HeapSort::buildHeap() { int n = 1; while (len > pow(2.0, n) - 1) { adjustHeap(0, len); n++; } } void HeapSort::adjustHeap(int start, int hLen) { if (start >= hLen - 1) return; int left = 2 * start + 1; int right = 2 * start + 2; // This also means left < hLen and // arr[left] and arr[right] exist. if (right < hLen) { // This means arr[start] is smaller than one of its child, so we just // need to find a larger child to replace it. if (arr[start] < arr[left] || arr[start] < arr[right]) { if (arr[left] >= arr[right]) { exchange(start, left); } else { exchange(start, right); } } } // This means left < hLen <= right and arr[right] does not exist. else if (left < hLen) { if (arr[start] < arr[left]) { exchange(start, left); } } // This means hLen <= left, arr[left] does not exist and arr[start] has no child. // Actually, 'else' branch is not necessary as 'if (start >= hLen - 1) return;' // at the beginning has ensured this. else { return; } adjustHeap(start + 1, hLen); adjustHeap(start + 2, hLen); }
完整程序请见Github.
相关文章推荐
- 《算法导论》笔记(4)堆排序与快速排序 含部分习题
- 算法导论-排序(三) 堆排序
- 算法导论之插入排序,选择排序,归并排序,冒泡排序,希尔排序,堆排序,快速排序的c语言实现
- 算法导论-第六章-堆排序:基于最大堆的排序C++实现
- 练习《算法导论》之排序:插入排序,归并排序,堆排序,快速排序
- 从排序开始(五) 堆排序
- 选择排序 ——堆排序
- 《算法导论的Java实现》 7 堆排序
- C++排序之堆排序(6)
- 3.比较排序之堆排序
- 高级排序之堆排序
- 算法导论6.5-8堆排序-K路合并
- 算法导论实验:第二章插入排序 P10
- 那些年快速排序、归并排序、堆排序的明争暗斗……
- 算法导论(二)——查找、排序和顺序统计
- 选择排序 (直接选择排序 ,堆排序)
- (2)排序之堆排序
- 【数据结构之排序7】堆排序
- 要开始准备找工作了,昨天闲时就自己写了个数据结构排序类,包括了堆排序,归并排序,速度排序,插入排序。
- 选择类排序-堆排序