<<什么是数学>>　余数那些事儿

<<什么是数学>>　笔记　余数那些事儿

今天又踩坑了，感觉各种问题递归下去有没个尽头的样子╮（╯＿╰）╭

还是要回归到数学的本质上来．．．

只要说数学，你就会被高斯帅哭的．．．

一般性的概念．

只要碰到用一个固定的整数d，去除整数的问题，＂同余＂的概念和记法(高斯创造)使得这个推理简单而清楚．

（伟大的人都是把复杂的问题简单化）



啊哈，　看图，＂同余＂的概念就很直观了．我们看到任意一个整数被5除时，剩下的余数是0,1,2,3,4,这五个数中的一个．如果两个整数a和b被5除有相同的余数，我们称它们是模５同余

同余数的表示方法，这就是同余式 



一下命题等价:

1.　a和b是模5同余．

2.　存在某个整数n,　a = b + nd;

3.   d 整除 a - b

一开始我很狐疑（我智商低求不鄙视．．），为嘛 a = b + nd　会成立，如果a ,b 同余的话．

好，我们来证明一下

对于命题＂如果 a,b 同余，那么 a = b + nd＂　的证明：

假设a ,b 同余的话,可以假设它们对于模d的共同余数为为r．

那么有a = r + x*d;

           b = r + y*d;

两个等式做减法． a - b = (x - y) * d; 变形　a = b + (x- y)*d.看，是不是如果用n表示　x - y 就能得到命题的证明了！

高斯的这种同余数表示方法之所以很方便，是因为它表示的同余式满足很多基础性的运算符法则，加，减，乘

这里的　加　减　乘　是针对　两对同余数（即同余式）来说的，而不是一对同余数　（不是天才就慢慢的思考嘛～，会有更深刻的认识）

证明一下:



已知, a == a' (mod d) , b == b'(mod d)

a   = r + d*x;

a'  = r + d*y;

b  = p + d*m;

b' = p + d*n;

由于：

a + b = (r + p) + d*(x + m)

a' + b' = (r + p) + d*(y + n)

那么我们可以知道，a+b与a'+b'同余！

同理可以证明 5) 和 6)





大名鼎鼎的GCD算法的证明:

下面是我以前写的关于GCD的实现

http://blog.csdn.net/cinmyheart/article/details/39370553



证明过程简直beautiful,有木有! 超帅~

我今天终于明白...GCD为什么那样写了...

一条很重要的规律: 当a或b任意一个素数d的倍数时,那么他们的乘积也是d的倍数.这里重点其实在强调d必须是素数.



当d不是个素数的时候, 上述约束就不一定成立.

费马定理:



注意!p是个素数, 而且还是不能整除a的素数.

2^2 = 1 (mod 3)

2^4 = 1 (mod 5)

这样应该比较有感觉.

费马定理的证明:



对于"m1 m2 m3 ... mp-1 如果将其次序重新排序,必须相应的同余于数1 2 3 4 ... p-1"

这里要特别感谢 @青丝成霜

这里两个序列(m1 m2 ... mp-1) (1 2 3... p-1)他们其实是一组同余数组(同余系).

因为在m1 ... mp-1之间有 p-1个数, 而 这些数中任意两个都不能模p同余, 于是就有p-1种不同的余数结果.

而我们知道模p操作得到的余数可能情况全部就是p-1个, 这里恰好是所有的余数结果的.

就很容易知道, m1 .. mp-1 这些数模p得到的余数序列包含所有的余数情况. 进而这些余数都在0 ~ (p-1)之间.

所以就有了那句话"m1 m2 m3 ... mp-1 如果将其次序重新排序,必须相应的同余于数1 2 3 4 ... p-1"

后面其他余数相关的东东应该还会update~ 

update 2015.04.30 感谢@青丝成霜 的提醒. 对原文费马定理的证明进行了补充说明.