【每天进步一点】毒药和老鼠的研究

之前碰到过毒药和老鼠，鸡蛋和称的问题，每次都拿笔在纸上推敲很久，这类问题今天终于有了完整的解决思路。

基础：

1.整数的二进制表达式

1000的二进制表达式是什么呢？

1000/2=500  --(余)--0
500/2=250   --(余)--0
250/2=125   --(余)--0
125/2=62    --(余)--1
62/2=31     --(余)--0
31/2=15     --(余)--1
15/2=7      --(余)--1
7/2=3       --(余)--1
3/2=1       --(余)--1
1/2=0       --(余)--1

1000的二进制表达式为 1111101000 = 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 23 = 512 + 256 + 128 + 64 +32 + 8

还需要其他的吗？不需要了，有上面的基础足矣。

二进制和上面的题目有什么关系呢？

在计算机基础里面，函数B2Uw表示Binary to Unsigned(长度为w的二进制到无符号整数)，它能够被定义为一个映射：

B2Uw{0,1}w --> {0,1,...,2w-1}

也就是说表达0~2w-1的整数值，只需要w位的二进制即可。

再转换一下：w位的二进制可以表达(2w-1)+1=2w个整数值。

反应在我们的命题中，n个瓶子对应n个可能的结果，转换成二进制之后，只需要x位的0101就可以表达出来了。(n已知，x未知。x的求值参考上面的结论)

命题：8瓶水，其中一瓶有毒，中毒的老鼠会在一个星期之后死亡。给你一个星期，请问最少几只老鼠可以测试出哪瓶有毒？

步骤一：确定需要几只老鼠

8 = (二进制)1000 = 23。

即三位的二进制即可表达8种情况。

步骤二：为药品分配准备数据

将三位的二进制所有的情况罗列出来，剔除0的情况

计算机的整数(索引)从0开始，生活中的计数习惯从1开始。而实际的操作中，我们可以拿出一瓶不做测试，当所有老鼠都存活下来时，就说明拿出来的这一瓶是最后的结果。这里可以取个巧，将0理解为索引，映射到最后一个数字，在这里就是8；剔除0，也就是剔除了第8瓶水的情况。

┆  0  ┆  0  ┆  1 ┆  //1
┆  0  ┆  1  ┆  0 ┆  //2
┆  0  ┆  1  ┆  1 ┆  //3
┆  1  ┆  0  ┆  0 ┆  //4
┆  1  ┆  0  ┆  1 ┆  //5
┆  1  ┆  1  ┆  0 ┆  //6
┆  1  ┆  1  ┆  1 ┆  //7

从右往左，第一列对应的是1010101，其中1对应的数即为{1,3,5,7}；第二列对应0110011=>{2,3,6,7}；第三列对应0001111=>{4,5,6,7}

步骤三：提取上面的数字，得出喂食方案。

第一只老鼠给他喂食(1,3,5,7)瓶水的混合液，第二只老鼠喂食(2,3,6,7)的混合液，第三只老鼠喂食(4,5,6,7)的混合液。

Console.WriteLine("假设有毒瓶数为：");
int poisonOne = int.Parse(Console.ReadLine());
Console.WriteLine("死掉的老鼠有：" + string.Join(",", solution.Select((aa, idx) => aa.Contains(poisonOne) ? idx + 1 : -1).Where(idx => idx != -1)));
var resBinary = new string(solution.Select(aa => aa.Contains(poisonOne) ? '1' : '0').Reverse().ToArray());
Console.WriteLine("二进制表达式为：" + resBinary);
var res = Convert.ToInt32(resBinary, 2);
if (res == 0) res = poisonNum;
Console.WriteLine("测试结果为：第{0}瓶有毒", res);

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发散的问题：6个质量相等的小球和1个质量稍重的球，不能用天平，只能用称，设计一种方法，只能量三次就找出稍重的球。

类似的问题，这里数量变成了7个。测试数据也从死掉变成了重和轻，不过一样可以转换成0和1。

如果你看懂了上面，不妨想想这个的答案。