【LeetCode从零单刷】Unique Binary Search Trees I & II

I 题目：

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,

Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

1         3     3      2      1
\       /     /      / \      \
3     2     1      1   3      2
/     /       \                 \
2     1         2                 3

解答：

给出节点数，求可以构成的二叉搜索树的个数。

首先介绍什么是“二叉搜索树”：就是二叉树，每个非空节点的左子树的所有节点值，小于根节点值；每个非空节点的右子树的所有节点值，大于根节点值。

一般这种题目都是递归（假设上一步结果已知，据此求下一步）的。为了节省时间，利用空间把每一步的结果保存到数组里面，就成了动态规划。

一开始我的思路：我知道 (n-1) 个节点的数量 f(n-1)，n个节点就是 n 种 (n-1) 个节点的结果，在每个结果中插入第 n 个节点。所以 f(n) = n * f(n-1)。

但这样有个很麻烦的问题……这些子树里面有重复的，否则 f(3) = 6 而不是 5 了。然后我就陷入了查重的坑了……

其实这么想。如果我剩余下来的节点很特殊：第n个节点是根节点。这样把整个树分为了 i 个节点的左子树，和 (n-i-1) 个节点的右子树。各自的组合方法相乘即可得到整棵树的组合方法。

class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
if(n==0)    return 0;
if(n==1)    return 1;
if(n==2)    return 2;

int* tree = new int[n + 1];
tree[0] = 1;
tree[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++)
{
tree[i] = 0;
for(int j = 0; j < i; j++)
{
tree[i] += tree[i-j-1] * tree[j];
}
}
return tree
;
}
};

II [b]题目：[/b]

如果我们需要的不仅是个数，而是每棵树的具体样式呢？

解答：

同理，我们从根节点为切入点。遍历每一个点都尝试作为根节点，递归得到左右子树的各种样式，依次组合拼接。

/**
* Definition for a binary tree node.
* struct TreeNode {
* int val;
* TreeNode *left;
* TreeNode *right;
* TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
* };
*/
class Solution {
public:
vector<TreeNode*> generatePartTrees(int start, int end) {
vector<TreeNode*> ans;

if(start > end) return ans;

if(start == end) {
TreeNode* mid = new TreeNode(start);
ans.push_back(mid);
return ans;
}

for(int i = start; i <= end; i++) {
vector<TreeNode*> left = generatePartTrees(start, i - 1);
vector<TreeNode*> right = generatePartTrees(i + 1, end);

int lnum = left.size();
int rnum = right.size();

if(lnum == 0) {
for(int k = 0; k < rnum; k++) {
TreeNode* mid = new TreeNode(i);
mid->right = right[k];
ans.push_back(mid);
}
}
else if(rnum == 0) {
for(int j = 0; j < lnum; j++) {
TreeNode* mid = new TreeNode(i);
mid->left = left[j];
ans.push_back(mid);
}
}
else {
for(int j = 0; j < lnum; j++) {
for(int k = 0; k < rnum; k++) {
TreeNode* mid = new TreeNode(i);
mid->left = left[j];
mid->right = right[k];
ans.push_back(mid);
}
}
}
}
return ans;
}

vector<TreeNode*> generateTrees(int n) {
return generatePartTrees(1, n);
}
};
总结：

递归是根据所有已知项得到的。并不一定只是上一项，也可以从特殊点突破。尤其对于树结构而言，根是很特殊的入手点。