leetcode || 69、Sqrt(x)

problem:

Implement

int sqrt(int x)

.
Compute and return the square root of x.

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题意：计算平方根，没有指定精度，默认精度为0.00001

thinking:

（1）由于题中没有设置精度，提示使用二分法

（2）除了二分法，还可以使用牛顿迭代

code:

二分法：

class Solution{
public:

int sqrt(int x) {
unsigned long long begin = 0;
unsigned long long end = (x+1)/2;
unsigned long long mid;
unsigned long long tmp;
while(begin < end)
{
mid = begin + (end-begin)/2;
tmp = mid*mid;
if(tmp==x)return mid;
else if(tmp<x) begin = mid+1;
else end = mid-1;
}
tmp = end*end;
if(tmp > x)
return end-1;
else
return end;
}
};

牛顿迭代：



为了方便理解，就先以本题为例：

计算x2 = n的解，令f(x)=x2-n，相当于求解f(x)=0的解，如左图所示。

首先取x0，如果x0不是解，做一个经过(x0,f(x0))这个点的切线，与x轴的交点为x1。

同样的道理，如果x1不是解，做一个经过(x1,f(x1))这个点的切线，与x轴的交点为x2。

以此类推。

以这样的方式得到的xi会无限趋近于f(x)=0的解。

判断xi是否是f(x)=0的解有两种方法：

一是直接计算f(xi)的值判断是否为0，二是判断前后两个解xi和xi-1是否无限接近。

经过(xi, f(xi))这个点的切线方程为f(x) = f(xi) + f’(xi)(x - xi)，其中f'(x)为f(x)的导数，本题中为2x。令切线方程等于0，即可求出xi+1=xi -
f(xi) / f'(xi)。

继续化简，xi+1=xi - (xi2 - n) / (2xi) = xi -
xi / 2 + n / (2xi) = xi / 2 + n / 2xi = (xi +
n/xi) / 2。

有了迭代公式xi+1= (xi + n/xi) / 2，程序就好写了。关于牛顿迭代法，可以参考wikipedia以及百度百科。

class Solution {
public:
int sqrt(int x) {
if(x<0)
return -1;
double a=1.0;
double check=0;
do{
a=(x/a+a)/2;
check = a*a;
}while(abs(check-x)>0.00001);
return a;
}
};