[HNOI2008] [BZOJ1008] 越狱|组合数学

Description

监狱有连续编号为1...N的N个房间，每个房间关押一个犯人，有M种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱

Input

输入两个整数M，N.1<=M<=10^8,1<=N<=10^12

Output

可能越狱的状态数，模100003取余

Sample Input

2 3

Sample Output

6

HINT

6种状态为(000)(001)(011)(100)(110)(111)

本题为一道组合数学的题目，本人是数学蒟蒻，看了题解后才明白。其实关键就是逆向思维。

n个房间 m种宗教，总状态数即m^n,若不越狱，即相邻房间的两个人宗教不同，所以第一个人有m种选择，则后面的每一个人都有m-1种选择，所以不越狱的状态总数我m*(m-1)^(n-1);所以越狱的状态数就为m^n-m*(m-1)^(n-1)。

解决了这个问题后，快速幂解决就好了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#define mod 100003
#define ll long long
using namespace std;
ll m,n;
ll qpow(ll a,ll b)
{
ll c=1,d=a%mod;
while (b>0)
{
if (b&1)
c=(c%mod*d%mod)%mod;
b>>=1;
d=(d%mod*d%mod)%mod;
}
return c;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld",&m,&n);
long long ans=qpow(m,n);
ans=ans-m*qpow(m-1,n-1)%mod;
if (ans<0)   ans+=mod;
printf("%lld",ans);
return 0;
}