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数论---同余法则定理

2015-04-03 01:11 309 查看

[b]为了时刻能够让自己熟悉同余的运算。[/b]

同余公式也有许多我们常见的定律,比如相等律,结合律,交换律,传递律….如下面的表示:
1)a≡a(mod d)
2)a≡b(mod d)→b≡a(mod d)
3)(a≡b(mod d),b≡c(mod d))→a≡c(mod d)

如果a≡x(mod d),b≡m(mod d),则
4)a+b≡x+m （mod d）
5)a-b≡x-m (mod d)
6)a*b≡x*m (mod d )
7）a≡b（mod d）则a-b整除d
转自百度百科。简单的同余运算而已。
具体数学上---Kunth

a≡b(mod d)->a^n≡b^n(mod d)
对于这个式子我想废话一下。浙江省赛上的一道打表题。知道当天为星期6.求1^1 + 2^2 +...N^N 天之后为星期几
也就是求[b]1^1 + 2^2 +...N^N mod 7 的值。其中N的规模也有1千万的大小[/b]
我想说 N mod 7 无非是1~6.
根据上述的式子。可以知道 [b][b]1^1 + 2^2 +...N^N mod 7 可以转化成 [/b][/b]
[b][b]1^1 + 1^8 + ...1^(1+7k)[/b][/b]
[b][b]2^2 + 2^9 + ...2^(2+7k)[/b][/b]
[b][b]...[/b][/b]
[b][b]6^6 + 6^13+...6^(6+7k)[/b][/b]
[b][b]k = N/7[/b][/b]
还有N%7的项式也可以简单加上（利用快速指数取模）
可以利用求和公式。或者6个式子之和。然后计算即可

ac≡bc(mod d) -> a≡b(mod d) 当c和d互质的时候，其实就是乘上c的逆元得到的这个关系式子
ac≡bc(mod dc) -> a≡b(mod d) 做差法易得
除法总结:ac≡bc(mod d) -> a≡b(mod d/gcd(c,d)).

对模的：
a≡b(mod cd) -> a≡b(mod d) 做差法易得
a≡b(mod d),a≡b(mod c) -> a≡b(mod lcm(c,d)) 中国剩余定理雏形

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