各种数论知识

博客好久没有更新了。。。感觉自己这段时间集训就像是在学数学一样ORZ。高一的那些触们会那么多高数是要闹哪样QAQ。下面是一些自己这段时间的学到的一些数论知识。我太弱，不要鄙视内容。。。

原根

1.设M为正整数,a为整数,若a % M 的阶(群论的定义下为元素的个数)为phi(M),则

a为模M的一个原根。

2.设g为P(P为素数)的原根,则满足,g ^ (P -1) = 1 (mod P)。

3.模M下有原根的充要条件是M = 1,2,4,P,2*P,P^N (其中P为奇质数)。

4.丢番图方程(不定方程,整数系多项式方程)：整数系方程,求解在整数系下进行。

5.裴蜀定理：对于任意整数a，b，d = gcd(a,b)，则对于任意的x，y，一定存在ax+by为d的倍数。用于判定两个数a，b互质，则应满足ax+by=1。

加以推广，n个整数x1，x2，......，xn，互质，则应满足存在一组解使得a1*x1+a2*x2+...+an*xn=1。

6.主理想环：使得每个理想都可由单个元素生成的环。

7.求原根的方法：从2开始暴力枚举，然后判断。

判断是否是原根：对于要求原根的数M，对于枚举的一个数g，求所有的phi(M)的质因数P，是否满足g ^ (phi(M) / P) = (mod M)。如果都不满足，则g为原根。