Dijkstra算法原理及其优化
2015-03-31 23:00
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一、算法简介
迪杰斯特拉算法是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法,解决的是有向图中最短路径问题。
二、算法描述
1)算法思想:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。2)算法步骤:a.初始时,S只包含源点,即S={v},v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,即:U={其余顶点},若v与U中顶点u有边,则<u,v>正常有权值,若u不是v的出边邻接点,则<u,v>权值为∞。b.从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。c.以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。执行动画过程如下图
三.算法实例先给出一个无向图
用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下
四、算法优化
该算法复杂度为n^2,我们可以发现,如果边数远小于n^2,对此可以考虑用堆这种数据结构进行优化,取出最短路径的复杂度降为O(1);每次调整的复杂度降为O(elogn);e为该点的边数,所以复杂度降为O((m+n)logn)。
2. 选出堆顶元素u(即代价最小的元素),从堆中删除,并对堆进行调整。
3. 处理与u相邻的,未被访问过的,满足三角不等式的顶点
1):若该点在堆里,更新距离,并调整该元素在堆中的位置。
2):若该点不在堆里,加入堆,更新堆。
4. 若取到的u为终点,结束算法;否则重复步骤2、3。
迪杰斯特拉算法是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法,解决的是有向图中最短路径问题。
二、算法描述
1)算法思想:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。2)算法步骤:a.初始时,S只包含源点,即S={v},v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,即:U={其余顶点},若v与U中顶点u有边,则<u,v>正常有权值,若u不是v的出边邻接点,则<u,v>权值为∞。b.从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。c.以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。执行动画过程如下图
三.算法实例先给出一个无向图
用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下
四、算法优化
该算法复杂度为n^2,我们可以发现,如果边数远小于n^2,对此可以考虑用堆这种数据结构进行优化,取出最短路径的复杂度降为O(1);每次调整的复杂度降为O(elogn);e为该点的边数,所以复杂度降为O((m+n)logn)。
实现
1. 将与源点相连的点加入堆,并调整堆。2. 选出堆顶元素u(即代价最小的元素),从堆中删除,并对堆进行调整。
3. 处理与u相邻的,未被访问过的,满足三角不等式的顶点
1):若该点在堆里,更新距离,并调整该元素在堆中的位置。
2):若该点不在堆里,加入堆,更新堆。
4. 若取到的u为终点,结束算法;否则重复步骤2、3。
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