Lecture Note - 北大 - 算法设计与分析 Design and Analysis of Algorithms - Wanling Qu

第一周作业

Question 7

下表给出 5 组 f(n) f(n) 和 g(n) g(n) 函数

12345f(n)2n3+3n50n+logn50nlognlognn!g(n)100n2+2n+10010n+loglogn10nloglognlog2n5n\begin{equation}
\begin{split}
& \quad f(n) & \quad g(n) \\
1 & \quad 2 n^3 + 3n & \quad 100 n^2 + 2n + 100 \\
2 & \quad 50 n + \log n & \quad 10 n + \log \log n \\
3 & \quad 50 n \log n & \quad 10 n \log \log n \\
4 & \quad \log n & \quad \log^2 n \\
5 & \quad n! & \quad 5^n
\end{split}
\end{equation}

使得 f(n)=O(g(n)) f(n) = O (g(n)) 成立的组号（从小到大排列）是：

24

Question 8

使得 f(n)=Ω(g(n)) f(n)=\Omega(g(n)) 成立的组号从小到大排列是（格式同上一题）：

1235

Question 10

使得 f(n)=Θ(g(n)) f(n)=\Theta(g(n)) 成立的组号从小到大排列是（格式同上一题）：

2

Slide - 011序列求和的方法

调和级数

调和级数（英语：Harmonic series）是一个发散的无穷级数，表达式为：

∑k=1∞1k=1+12+13+14+⋯ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} = 1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \cdots

第n个调和数与n的自然对数的差值（即 ∑nk=11k−lnn \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n ）收敛于欧拉-马歇罗尼常数。

二分检索平均时间复杂度

结点数总共为 n=2k−1 n = 2^k - 1 。

在前 k−1 k - 1 次检索成功，有 1 1 个元素第 1 1 次检索成功，有 2 2 个元素第 2 2 次检索成功，有 3 3 个元素第 3 3 次比较成功，依次类推，有 2t−1 2^{t-1} 个元素第 t t 次检索成功。

而在第 k k 次的比较中，有 2k−1 2^{k-1} 个元素可能检索成功，还可能会有 n+1 n + 1 个元素检索不成功。

所以会有 Slide 中所示的计算方法。

第二周作业

Question 1

可用数学归纳法证明：

∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n (n+1) (2n+1)}{6}
\end{equation}

Question 2

递推式应该为：

T(n)=logn+log(n−1)+log(n−2)+⋯+log1 T(n) = \log n + \log (n-1) + \log (n-2) + \cdots + \log 1

推测 T(n) T(n) 的阶应该是 Θ(nlogn) \Theta (n \log n) 。

Question 3

根据主定理，T(n) T(n) 的阶是 Θ(nlog27) \Theta (n^{\log_2 7}) ，W(n) W(n) 的阶 Θ(nlog4a) \Theta (n^{\log_4 a}) 应该不超过 T(n) T(n) 的阶，即 nlog4a⩽nlog27 n^{\log_4 a} \leqslant n^{\log_2 7} ，可解出最大的 a=48 a = 48 。

Question 4

由主定理可知，T(n)=Θ(n2) T(n) = \Theta (n^2)