SICP Exercise 1.13

原题：



这道题让你证明斐波那契


是最接近


的整数,其中

.其实就是证明

。

下面用数列解出：


(n>1)（递推式）

I.

当

时，存在

满足

,

整理得


,

把

看做一元二次方程

的根,从而求出

。

这个一元二次方程称为递推式的特征方程（只要将

）,所以数列

是等比数列，通项公式为

,两种表示法随便取一种。

II.

当p+q=1时，易得

是等比数列，

然后当作一般等比数列求出。

III.

定理：如果

是递推关系

（n>1）的特征方程


的根,那么：

（1） 当

时，

;

（2） 当

时，

;

（3） 当

时，


;

其中

是可由初始值确定的常数。

IV.

现在回到斐波那契Fib(n)，已知Fib(0)=0,Fib(1)=1,特征方程为

,求得

Fib(n)=

，（

）。

证毕。

PS：n从0开始还是从1开始，具体问题具体分析。