[NOI2011]智能车比赛（计算几何+动态规划）

【题解】

路径只在矩形顶点处拐弯，因此可以建4*n+2个点，求最短路

那么只需判断哪些点对能够直接连边

直接枚举点对并建图，复杂度为O(n^3)，优化：枚举点u和其他所有点能否连边时，可以利用一个天然的单调性：这些点横坐标是从左到右的

从左到右枚举点u，用u来更新最短路，对于每个u，维护从它出发的上下视线(两个向量)，另一个点v的枚举依然是从左到右推进

这样，要判断u,v能否以线段相连接，只需判断v是否在当前的视野内(向量叉积)即可

最短路不专门求，而是在维护视野的过程中求得 O(n^2)

【代码】

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#define INF 1000000000
double d[8010]={0};
int x_1[2010]={0},y_1[2010]={0},x_2[2010]={0},y_2[2010]={0},x[8010]={0},y[8010]={0},pla[8010]={0};
int tot=0;
void jh(int* a,int* b)
{
	int t=*a;
	*a=*b;
	*b=t;
}
double dis(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
	return sqrt( (double)((x1-x2)*(x1-x2))+(double)((y1-y2)*(y1-y2)) );
}
int cross(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
	return x1*y2-x2*y1;
}
void update(int s)
{
	int i=s,xu=x[s],yu=y[s]+1,xd=x[s],yd=y[s]-1;//初始视线保证不能往x轴负方向走 
	while(i>1&&x[i]==x[i-1]) i--;
	for(;i<=tot;i++)
	{
		if(cross(xd-x[s],yd-y[s],x[i]-x[s],y[i]-y[s])>=0&&cross(xu-x[s],yu-y[s],x[i]-x[s],y[i]-y[s])<=0)//在视野内：更新最距离 
			if(d[i]>d[s]+dis(x[s],y[s],x[i],y[i])) d[i]=d[s]+dis(x[s],y[s],x[i],y[i]);
		if(pla[i]!=0&&(x[s]!=x[i]||y[s]!=y[i]))//维护上下视线(不能只在：i在视野内 时才维护; i与s为同一个点：不维护)
		{
			if(pla[i]==2&&cross(xu-x[s],yu-y[s],x[i]-x[s],y[i]-y[s])<=0)//上方点在上边界下方 
			{
				xu=x[i];
				yu=y[i];
			}
			if(pla[i]==1&&cross(xd-x[s],yd-y[s],x[i]-x[s],y[i]-y[s])>=0)//下方点在下边界上方 
			{
				xd=x[i];
				yd=y[i];
			}
		}
		if(cross(xd-x[s],yd-y[s],xu-x[s],yu-y[s])<0) return;
	}
}
int main()
{
	double v;
	int n,i,xs,ys,xt,yt,tou,wei,t;
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d%d%d%d",&x_1[i],&y_1[i],&x_2[i],&y_2[i]);
	scanf("%d%d%d%d",&xs,&ys,&xt,&yt);
	scanf("%lf",&v);
	if(xs>xt)
	{
		jh(&xs,&xt);
		jh(&ys,&yt);
	}
	for(tou=1;tou<=n;tou++)//找到s所在的矩形 
		if(xs<=x_2[tou]&&y_1[tou]<=ys&&ys<=y_2[tou]) break;
	for(wei=n;wei>=1;wei--)//找到t所在的矩形 
		if(x_1[wei]<=xt&&y_1[wei]<=yt&&yt<=y_2[wei]) break;
	x[0]=xs;
	y[0]=ys;
	for(i=tou;i<=wei;i++)
	{
		if(x_1[i]==xt&&y_1[i]<=yt&&yt<=y_2[i])//t在矩形i左边界(线段)上，使它最靠左编号 
		{		
			x[++tot]=xt;
			y[tot]=yt;
			t=tot;
		}
		x[++tot]=x_1[i];
		y[tot]=y_1[i];
		pla[tot]=1;//1 (左)下 
		x[++tot]=x_1[i];
		y[tot]=y_2[i];
		pla[tot]=2;//2 (左)上 
		if(x_1[i]<xt&&xt<=x_2[i]&&y_1[i]<=yt&&yt<=y_2[i])//t在矩形i内部 
		{		
			x[++tot]=xt;
			y[tot]=yt;
			t=tot;
		}
		x[++tot]=x_2[i];
		y[tot]=y_1[i];
		pla[tot]=1;//1 (右)下 
		x[++tot]=x_2[i];
		y[tot]=y_2[i];
		pla[tot]=2;//2 (右)上 
	}
	for(i=1;i<=tot;i++)
		d[i]=INF;
	for(i=0;i<=tot;i++)
		update(i);
	printf("%.10lf",d[t]/v);
	return 0;
}