poj3696 快速幂的优化+欧拉函数+gcd的优化+互质

这题满满的黑科技orz

题意：给出L，要求求出最小的全部由8组成的数(eg: 8,88,888,8888,88888,.......)，且这个数是L的倍数

sol：全部由8组成的数可以这样表示：((10^x)-1)*(8/9)

那么有m=((10^x)-1)*(8/9)=k*L，answer即满足条件的最小的x

性质1：若ax=by且a和b互质，那么说明a中没有任何b的质因子，b的质因子一定都在x里。所以x是b的倍数。

所以先想方设法在等式中构造两个互质的数以便化简。我们取p=8/gcd(8,L)，q=9*L/gcd(8,L)

那么有p*((10^x)-1)=q*k，且p与q互质【8/gcd(8,L)与L/gcd(8,L)一定互质。8又没有3这个质因子，所以9*L/gcd(8,L)还是会互质】

所以由性质1，(10^x)-1是q的倍数。

所以(10^x)-1=0　　(mod q)

　　(10^x)=1　　（mod q)

性质2：欧拉定理。对于正整数a,n，若gcd(a,q)=1，则有a^phi(q)=1　　(mod q)　　　　【其中phi是欧拉函数】

这个式子是不是和上面很像呢~

所以若gcd(10,q)=1说明有解，否则无解

对于有解的情况，x=phi(q)就是一个解，但不一定是最小解。actually，0---phi(q)中还可能存在解。

性质3：因为后面有mod n，而余数都是有循环节的。（即一个循环周期的长度，设为r）

eg：如果有10^a=1 (mod q)，那么10^(a+r)=1 (mod q)

首先x=0是一个解【10^0=1 (mod q)】。而且已经确定phi(q)也是一个解了。所以phi(q)一定是这个循环节r的倍数。

根据性质3，r肯定也是一个解。而且是最小的。

所以只要枚举phi(q)的约数，找出其中最小的满足条件的即可。

-----------------------接下来是满满的黑科技orz----------------------

Q1：本题数据很大，求gcd的过程会TLE肿么办

A1：因为gcd里面有一个数字是固定的，所以可以用一下黑科技

//q=9*N/gcd(8,N);
q=9*N;
for (int i=0;i<3;i++)
if (q%2==0)
q=q/2;
else break;
要求的是q/gcd(8,N)
而8分解质因数之后是2^3，也就是说带8的gcd里面最多也只可能有3个2。所以直接把这3个2能除掉的都除掉就行了

//if (gcd(10,q)!=1)    ans=0;
if  ((q%2==0)||(q%5==0))
ans=0;
10的质因子只有2和5。如果q是2或5的倍数，就说明q和10不互质。

Q2：求快速幂取模(10^x)%q的时候，数据超了long long的范围，会出错

A2：这样：

LL func(LL a,LL b,LL c)     //a*b%c
{
long long ret = 0;
while (b)
{
if (b & 1)
ret = (ret + a) % c;
a = 2 * a % c;
b >>= 1;
}
return ret;
}

LL pow_mod(LL a,LL b,LL MOD)
{
if (a==1)   return 1;
LL t=a%MOD,ans=1;
while(b)
{
if (b&1)
ans=func(ans,t,MOD);
t=func(t,t,MOD);
b>>=1;
}
return ans;
}

其实我也没看懂func是个什么鬼。。。。【逃

AC Code：

 #include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define LL long long
#define MAXL 1000

LL TC=0;
LL N,MOD,TM,q,ans;
int phi[MAXL+5];

int gcd(int a,int b)                   //辗转相除法，返回gcd(a,b)
{
if (b==0) return a;
return gcd(b,a%b);
}

long long euler(long long n)
{
long long ret = n;
for (long long i = 2; i * i <= n; i++)
if (n % i == 0)
{
ret = ret / i * (i - 1);
while (n % i == 0)
n /= i;
}
if (n > 1)
ret = ret / n * (n - 1);
return ret;
}

/*
LL pow_mod(LL a,LL b,LL MOD)
{
if (a==1)   return 1;
LL t=a%MOD,ans=1;
while(b)
{
if (b&1)
ans=ans*t%MOD;
t=t*t%MOD;
b>>=1;
}
return ans;
}
*/

LL func(LL a,LL b,LL c)     //a*b%c
{
long long ret = 0;
while (b)
{
if (b & 1)
ret = (ret + a) % c;
a = 2 * a % c;
b >>= 1;
}
return ret;
}

LL pow_mod(LL a,LL b,LL MOD)
{
if (a==1)   return 1;
LL t=a%MOD,ans=1;
while(b)
{
if (b&1)
ans=func(ans,t,MOD);
t=func(t,t,MOD);
b>>=1;
}
return ans;
}

int main()
{
//calc_phi(MAXL);
while (~scanf("%I64d",&N))
{
TC++;
if (N==0)   break;
//q=9*N/gcd(8,N);
q=9*N;
for (int i=0;i<3;i++)
if (q%2==0)
q=q/2;
else break;

TM=euler(q);    //tm=phi[q];
ans=TM;
//if (gcd(10,q)!=1)
if  ((q%2==0)||(q%5==0))
ans=0;
else
{
for (LL i=1; i*i<=TM; i++)
if (TM%i==0)
{
LL t1=i,t2=TM/i;
LL M1=pow_mod(10,t1,q);
LL M2=pow_mod(10,t2,q);
//cout<<t1<<" "<<M1<<endl<<t2<<" "<<M2<<endl;
if ((M1==1)&&(t1<ans))
ans=t1;
if ((M2==1)&&(t2<ans))
ans=t2;
}
}
printf("Case %d: ",TC);
cout<<ans<<endl;
}
}

/*
LL len,tmp,N;
int TC=0;
bool ok;

int main()
{
while(~scanf("%I64d",&N))
{
TC++;
if (N==0)   break;
tmp=8;
len=1;
ok=false;
if (tmp%N==0)   ok=true;
while ((!ok)&&(len<=MAXL))
{
tmp=tmp*10+8;
len++;
if (tmp%N==0)
ok=true;
}
if (ok)
printf("Case %d: %I64d\n",TC,len);
else
printf("Case %d: 0\n",TC);
}

return 0;
}
*/

View Code

Reference:
http://www.cnblogs.com/rainydays/archive/2012/11/05/2754760.html http://blog.csdn.net/yhrun/article/details/6908470