矩阵快速幂学习笔记
2015-03-03 15:26
363 查看
其实会用快速幂已经有好长一阵子了,但是一直没有写一篇入门快速幂的笔记。
据说,在递推式优化上具有神奇的效果(效率很高)
两矩阵相乘,朴素算法的复杂度是O(N^3)。如果求一次矩阵的M次幂,
按朴素的写法就是O(N^3*M)。既然是求幂,不免想到快速幂取模的算法,
这里有快速幂取模的介绍,a^b %m 的复杂度可以降到O(logb)。
如果矩阵相乘是不是也可以实现O(N^3 * logM)的时间复杂度呢?答案是肯定的。
先定义矩阵数据结构:
O(N^3)实现一次矩阵乘法
矩阵的幂运算(非常简短)
如果还不太懂的话, 可以举个例子:
求第n个Fibonacci数模M的值。如果这个n非常大的话,普通的递推时间复杂度为O(n),
这样的复杂度很有可能会挂掉。这里可以用矩阵做优化,复杂度可以降到O(logn * 2^3)
如图:
A = F(n - 1), B = F(N - 2),
这样使构造矩阵
的n次幂乘以初始矩阵
得到的结果就是
。
因为是2*2的据称,所以一次相乘的时间复杂度是O(2^3),总的复杂度是O(logn * 2 ^ 3 + 2 * 2 * 1 )
接下来贴一道题目:zoj 2853 Evolution.
据说,在递推式优化上具有神奇的效果(效率很高)
两矩阵相乘,朴素算法的复杂度是O(N^3)。如果求一次矩阵的M次幂,
按朴素的写法就是O(N^3*M)。既然是求幂,不免想到快速幂取模的算法,
这里有快速幂取模的介绍,a^b %m 的复杂度可以降到O(logb)。
如果矩阵相乘是不是也可以实现O(N^3 * logM)的时间复杂度呢?答案是肯定的。
先定义矩阵数据结构:
struct Mat { double mat ; };
O(N^3)实现一次矩阵乘法
Mat operator * (Mat a, Mat b){ Mat c; memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat)); for(int k = 0; k < n; ++k){ for(int i = 0; i < n; ++i){ if(a.mat[i][k] <= 0) continue; // for(int j = 0; j < n; ++j){ if(b.mat[k][j] <= 0) continue; // c.mat[i][j] += a.mat[i][k] * b.mat[k][j]; } } } return c; }
矩阵的幂运算(非常简短)
Mat operator ^ (Mat a, int k){ Mat c; for(int i = 0; i < n; ++i){ for(int j = 0; j < n; ++j){ c.mat[i][j] = (i == j); //init } } for(; k; k >>= 1){ if(k & 1) c = c * a; //key, 这里需要理解一下为什么奇数时候要乘 a = a * a; } return c; }
如果还不太懂的话, 可以举个例子:
求第n个Fibonacci数模M的值。如果这个n非常大的话,普通的递推时间复杂度为O(n),
这样的复杂度很有可能会挂掉。这里可以用矩阵做优化,复杂度可以降到O(logn * 2^3)
如图:
A = F(n - 1), B = F(N - 2),
这样使构造矩阵
的n次幂乘以初始矩阵
得到的结果就是
。
因为是2*2的据称,所以一次相乘的时间复杂度是O(2^3),总的复杂度是O(logn * 2 ^ 3 + 2 * 2 * 1 )
接下来贴一道题目:zoj 2853 Evolution.
相关文章推荐
- 矩阵快速幂 学习笔记
- 矩阵快速幂 学习笔记
- 快速幂矩阵快速幂学习笔记
- 数据结构&算法学习笔记: 快速幂&矩阵快速幂
- 矩阵快速幂--学习笔记
- ROR学习笔记(1):Rails 2快速创建GRUD应用
- Sharepoint学习笔记-- 如何在系统Path中添加STSADM的快速引用(Add STSADM in path)
- C++/GDI+ 学习笔记(五)——实用技巧——颜色矩阵(ColorMatrix)
- 算法导论学习笔记-第7章 快速排序
- Java学习笔记13:输出26个字母矩阵
- freemarker学习笔记_快速入门
- 《OpenGL游戏程序设计》学习笔记---第五章坐标变换和OpenGL矩阵
- C++/GDI+ 学习笔记(四)——实用技巧——颜色矩阵(ColorMatrix)
- “ASP.Net快速入门”学习笔记
- [学习笔记]快速开发Hibernate
- Matlab学习笔记(3)矩阵与魔方
- HtmlParser快速入手_学习笔记[转]
- Matlab学习笔记(2)矩阵与魔方
- OpenGL学习笔记-OpenGL的变换和矩阵
- IDL学习笔记(6)--矩阵操作