DijKstra算法（单源最短路径）

原文转载自：梦醒潇湘love

转载原文是为了方便自己学习，也希望能让更多读者在需要的情况下学到更多的知识。

Dijkstra（迪杰斯特拉）算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，比如数据结构、图论、运筹学等。

1、算法思想

令G = （V，E）为一个带权有向图，把图中的顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合S（初始时S中只有源节点，以后每求得一条最短路径，就将它对应的顶点加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中）；第二组是未确定最短路径的顶点集合U。在加入过程中，总保持从源节点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源节点v到U中任何顶点的最短路径长度。

2、算法步骤

（1）初始化时，S只含有源节点；

（2）从U中选取一个距离v最小的顶点k加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）；

（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源节点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值是顶点k的距离加上k到u的距离；

（4）重复步骤（2）和（3），直到所有顶点都包含在S中。

具体图例与算法执行步骤：（就从A开始，到各节点的最短路径）。



具体执行步骤如下图所示。



PS：图片右下角是原作者的博客地址。

3、算法具体实现

算法的具体实现如下所示。（用C++语言实现）

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "io.h"
#include "math.h"
#include "time.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

#define MAXEDgE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITY 65535

typedef int Status;    /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */

typedef struct
{
int vexs[MAXVEX];
int arc[MAXVEX][MAXVEX];
int numVertexes, numEdges;
}Mgraph;

typedef int Patharc[MAXVEX];            /* 用于存储最短路径下标的数组 */
typedef int ShortPathTable[MAXVEX];        /* 用于存储到各点最短路径的权值和 */

void CreateMgraph(Mgraph *g)
{
int i, j;

/* printf("请输入边数和顶点数:"); */
g->numEdges=16;
g->numVertexes=9;

for (i = 0; i < g->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
{
g->vexs[i]=i;
}

for (i = 0; i < g->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
{
for ( j = 0; j < g->numVertexes; j++)
{
if (i==j)
g->arc[i][j]=0;
else
g->arc[i][j] = g->arc[j][i] = INFINITY;
}
}

g->arc[0][1]=1;
g->arc[0][2]=5;
g->arc[1][2]=3;
g->arc[1][3]=7;
g->arc[1][4]=5;

g->arc[2][4]=1;
g->arc[2][5]=7;
g->arc[3][4]=2;
g->arc[3][6]=3;
g->arc[4][5]=3;

g->arc[4][6]=6;
g->arc[4][7]=9;
g->arc[5][7]=5;
g->arc[6][7]=2;
g->arc[6][8]=7;

g->arc[7][8]=4;

for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
{
for(j = i; j < g->numVertexes; j++)
{
g->arc[j][i] =g->arc[i][j];
}
}

}

/* Dijkstra算法，求有向网g的v0顶点到其余顶点v的最短路径P[v]及带权长度D[v] */
/* P[v]的值为前驱顶点下标,D[v]表示v0到v的最短路径长度和 */
void ShortestPath_Dijkstra(Mgraph g, int v0, Patharc *P, ShortPathTable *D)
{
int v,w,k,min;
int final[MAXVEX];                    /* final[w]=1表示求得顶点v0至vw的最短路径 */

/* 初始化数据 */
for(v=0; v<g.numVertexes; v++)
{
final[v] = 0;                    /* 全部顶点初始化为未知最短路径状态 */
(*D)[v] = g.arc[v0][v];            /* 将与v0点有连线的顶点加上权值 */
(*P)[v] = 0;                    /* 初始化路径数组P为0 */
}

(*D)[v0] = 0;                        /* v0至v0路径为0 */
final[v0] = 1;                        /* v0至v0不需要求路径 */

/* 开始主循环，每次求得v0到某个v顶点的最短路径 */
for(v=1; v<g.numVertexes; v++)
{
min=INFINITY;                    /* 当前所知离v0顶点的最近距离 */
for(w=0; w<g.numVertexes; w++) /* 寻找离v0最近的顶点 */
{
if(!final[w] && (*D)[w]<min)
{
k=w;
min = (*D)[w];            /* w顶点离v0顶点更近 */
}
}
final[k] = 1;                    /* 将目前找到的最近的顶点置为1 */

/* 修正当前最短路径及距离 */
for(w=0; w<g.numVertexes; w++)
{
/* 如果经过v顶点的路径比现在这条路径的长度短的话 */
if(!final[w] && (min+g.arc[k][w]<(*D)[w]))
{
/* 说明找到了更短的路径，修改D[w]和P[w] */
(*D)[w] = min + g.arc[k][w]; /* 修改当前路径长度 */
(*P)[w]=k;
}
}
}
}

int main(void)
{
int i,j,v0;
Mgraph g;
Patharc P;
ShortPathTable D; /* 求某点到其余各点的最短路径 */
v0=0;

CreateMgraph(&g);

ShortestPath_Dijkstra(g, v0, &P, &D);

printf("最短路径倒序如下:\n");
for(i=1;i<g.numVertexes;++i)
{
printf("v%d - v%d : ",v0,i);
j=i;
while(P[j]!=0)
{
printf("%d ",P[j]);
j=P[j];
}
printf("\n");
}
printf("\n源点到各顶点的最短路径长度为:\n");
for(i=1;i<g.numVertexes;++i)
printf("v%d - v%d : %d \n",g.vexs[0],g.vexs[i],D[i]);
return 0;
}

引用：http://hi.baidu.com/zealot886/item/c8a499ee5795bcddeb34c950、/article/9023788.html、《大话数据结构》