感知机模型

以下内容和思考来自  李航<统计学习方法>

一，感知机定义

         感知机的定义详见wiki 感知机,http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%84%9F%E7%9F%A5%E5%99%A8.

         是二类分类的线性分类模型,属于判别模型的一种. 判别模型和生成模型的区别详见http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/8195017.

        1.1 关于线性方程

：

        设有点集（x1,x2）满足方程

,那么

                                              



         其中，方向向量为  

  ，法向量为  

,
 得到 

。对应方程中 

。

二：损失函数

         如果损失函数选择误分类点的个数，则参数w,b关于其不连续可导，不易优化了。

         这里采用误分类点到超平面的距离总距离作为损失函数。

         2.1 点到超平面距离

         设P为超平面外一点，Q为超平面上一点，n为超平面法向量。则点P到该超平面的距离为：

                                                      



           -----  注：Q是一个点，不是直线，因此点积的结果不为0。

        2.2 感知机损失函数

       输入空间中任何一点 

到超平面的距离定义为：

                                                        



       

 是

的L2范数，对应于欧几里德距离。

      最终，我们得到所有误分类点到超平面的总距离为：

                                                         



      

是法向量，我们可以取单位向量。因此，损失函数最终定义为：

                                                         



三  感知机学习算法

       学习算法最终转为对损失函数的极小化问题，采用的是随机梯度下降法。

       3.1梯度下降法

       梯度的定义见wiki http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A2%AF%E5%BA%A6

       有关梯度下降法有一篇很好的博文，见http://blog.csdn.net/xiazdong/article/details/7950084

       如果我们设损失函数为  

 ,

       那么迭代过程中有：

                                                              



      根据这里的+ -号具体分为梯度上升和梯度下降，后边统一称为梯度下降。

       记得学过的数值分析曾讲到类似的，后来查到这里用到的应该是欧拉法的思想;

       3.2 欧拉法

       根据导数的定义：

                                             



       我们可以得到：

                                            



        即

                                         
ac32
  



      不失一般性，即得到

                                            

 
 

      ------------××××××××             这里需要再补充一幅图                      ********************---------------------

      根据偏导数的定义：

                                          



     偏导数得到的结果便是下降的方向，

  其实就是下降的步长。对变量a求偏导便是沿a的方向，该点的梯度显示变化最快的方向，大小（绝对值）表示在该方向变化的速度。

四 算法的收敛性

     关于算法的收敛性，书中有很详细的证明。这里省略。

五 样本线性可分的证明

     证：样本线性可分的充要条件是正负实例点集所构成的凸壳互不相交。

     凸集见http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%87%B8%E9%9B%86

    n维欧式空间中K个点组成一个凸集

                                            

 
 

    设有无穷小量  



   那么，对于正实例，有    



               对于负实例，有   



  对于全体的实例点，可以得到

                                                                                          -----------------持续更新中