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二维傅里叶变换和滤波(Two-Dimensional Fourier Transform and Filtering)

2015-01-27 13:47 288 查看

一、技术论证

1 离散傅里叶变换DFT

离散傅里叶变换是傅里叶变换在时域和频域上都呈现离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。

对于二维图像求傅里叶变换，需要用到二维离散傅里叶变换，设尺寸为M*N的二维离散图像函数为：

2 快速傅里叶变换FFT

快速傅里叶变换FFT并不是与傅里叶变换DFT不同的另一种变换，快速傅里叶变换是减少DFT运算次数的一种改进算法。它是对变换式进行一次次分解，使其成为若干小点数的组合，从而减少运算量。常用的FFT是以2为基数的，其长度N=2l。它的效率高，程序简单，使用非常方便，当要变换的序列长度不等于2的整数次方时，为了使用以2为基数的FFT，可以用末位补零的方法，使其长度延长至2的整数次方。

3 傅里叶谱的中心化处理

在数字图像处理中，常常需要将

的原点移到

频域的中心以便清楚地观察谱的情况。要做到这一点只需令：

，则有：

因此若要将图像谱的原点从(0,0)移到图像的中心点(N/2,N/2)处，只要将

乘上

因子，然后进行傅立叶变换即可。

4
频率域滤波步骤

5 高斯低通滤波器

低通滤波是要保留图像中的低频分量而去除图像中的高频分量。图像中的边缘和噪声都对应图像频域中的高频部分，所以通过在频域中的低通滤波可以除去或消弱噪声影响并模糊边缘轮廓，与时域中的平滑方法效果类似。要实现低通滤波需要选一个合适的模板

以得到消弱图像频率域

的高频分量。高斯滤波器的二维函数为：

式中

是距频率矩形中心的距离。

是截止频率，图1给出不同

值的滤波器径向剖面图。

图1不同

值的滤波器径向剖面图

与此相对的，截止频率处在距频率矩形中心距离为

值的高斯高通滤波器(GHPF)的传递函数由下式给出：

故可以使用原图像减去不同截止频率

值的滤波图像后的GHPF锐化效果。

二、实验结果讨论

编写函数fftcenter()实现图像中心化变换，对比MATLAB自带的函数fftshift()处理后的图像，图像的亮度变暗。要注意中心化变换因子

是与图像本身相乘，而不是和傅里叶变换后的矩阵相乘。对比中心化变换前后的傅里叶谱图可看出，图像的频谱幅度图

的高亮部分搬移到

频域的中心，傅里叶谱更加清晰。
使用fftcenter()实现图像中心化变换存在一个问题，就是图像乘以

时，有一半的像素值变为负数，而MATLAB的图像输出灰度范围只有0到255，因此所有负数的点均变成黑色，造成中心化后的图像亮度变低。
调用自编函数spatial_filtering(A,to,B)对两个图像进行四则算术运算，其中A和B是两幅输入图像，同时规定B可以是一个常数。to是一个表示运算符号的形参。当to的值为‘*’时进行两幅图像的相乘运算。这里的乘法处理是直接计算两幅图像像素点的乘积，主要应用举例是图像的局部显示，广泛使用于图像的各种滤波算法。
编写函数lowpassFiltering()构造高斯低通滤波器，在滤波之前需要对输入图像进行填充，如图2所示。