【数据结构】关键路径算法

几个定义：

AOV网：顶点表示活动，弧表示活动之间的优先关系的有向图。

AOE网：顶点表示事件，有向边表示活动，边上的权值表示活动的持续时间的网（带权值的图称为网）。

路径长度：路径上各个活动所持续的时间之和。

关键路径：从源点到汇点具有最大长度的路径。

关键活动：在关键路径上的活动。

算法原理：找到所有活动的最早开始时间和最晚开始时间，并且比较它们，如果相等就意味着此活动是关键活动，活动间的路径为关键路径。如果不等，则就不是。

为此，需要定义如下几个参数：

1，事件的最早发生时间etv：即顶点vk的最早发生时间。

2，事件的最晚发生时间ltv：顶点vk的最晚发生时间，即每个顶点对应事件最晚需要开始的时间。

3，活动的最早开工时间ete：即弧ak的最早发生时间。

4，活动的最晚开工时间lte：即弧ak的最晚发生时间，也就是不推迟工期的最晚开工时间。

由1和2可以求得3和4，然后再根据ete[k]是否与lte[k]相等来判断ak是否是关键活动。

AOE网和邻接表结构：





代码：

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "io.h"
#include "math.h"
#include "time.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

#define MAXEDGE 30
#define MAXVEX 30
#define INFINITY 65535

typedef int Status;	/* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */

int *etv,*ltv; /* 事件最早发生时间和最迟发生时间数组，全局变量 */
int *stack2;   /* 用于存储拓扑序列的栈 */
int top2;	   /* 用于stack2的指针 */

/* 邻接矩阵结构 */
typedef struct
{
int vexs[MAXVEX];
int arc[MAXVEX][MAXVEX];
int numVertexes, numEdges;
}MGraph;

/* 邻接表结构****************** */
typedef struct EdgeNode /* 边表结点  */
{
int adjvex;    /* 邻接点域，存储该顶点对应的下标 */
int weight;		/* 用于存储权值，对于非网图可以不需要 */
struct EdgeNode *next; /* 链域，指向下一个邻接点 */
}EdgeNode;

typedef struct VertexNode /* 顶点表结点 */
{
int in;	/* 顶点入度 */
int data; /* 顶点域，存储顶点信息 */
EdgeNode *firstedge;/* 边表头指针 */
}VertexNode, AdjList[MAXVEX];

typedef struct
{
AdjList adjList;
int numVertexes,numEdges; /* 图中当前顶点数和边数 */
}graphAdjList,*GraphAdjList;
/* **************************** */

void CreateMGraph(MGraph *G)/* 构件图 */
{
int i, j;
/* printf("请输入边数和顶点数:"); */
G->numEdges=13;
G->numVertexes=10;

for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
{
G->vexs[i]=i;
}

for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
{
for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++)
{
if (i==j)
G->arc[i][j]=0;
else
G->arc[i][j]=INFINITY;
}
}

G->arc[0][1]=3;
G->arc[0][2]=4;
G->arc[1][3]=5;
G->arc[1][4]=6;
G->arc[2][3]=8;
G->arc[2][5]=7;
G->arc[3][4]=3;
G->arc[4][6]=9;
G->arc[4][7]=4;
G->arc[5][7]=6;
G->arc[6][9]=2;
G->arc[7][8]=5;
G->arc[8][9]=3;

}

/* 利用邻接矩阵构建邻接表 */
void CreateALGraph(MGraph G,GraphAdjList *GL)
{
int i,j;
EdgeNode *e;

*GL = (GraphAdjList)malloc(sizeof(graphAdjList));

(*GL)->numVertexes=G.numVertexes;
(*GL)->numEdges=G.numEdges;
for(i= 0;i <G.numVertexes;i++) /* 读入顶点信息，建立顶点表 */
{
(*GL)->adjList[i].in=0;
(*GL)->adjList[i].data=G.vexs[i];
(*GL)->adjList[i].firstedge=NULL; 	/* 将边表置为空表 */
}

for(i=0;i<G.numVertexes;i++) /* 建立边表 */
{
for(j=0;j<G.numVertexes;j++)
{
if (G.arc[i][j]!=0 && G.arc[i][j]<INFINITY)
{
e=(EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
e->adjvex=j;					/* 邻接序号为j */
e->weight=G.arc[i][j];
e->next=(*GL)->adjList[i].firstedge;	/* 将当前顶点上的指向的结点指针赋值给e */
(*GL)->adjList[i].firstedge=e;		/* 将当前顶点的指针指向e  */
(*GL)->adjList[j].in++;

}
}
}

}

/* 拓扑排序 */
Status TopologicalSort(GraphAdjList GL)
{    /* 若GL无回路，则输出拓扑排序序列并返回1，若有回路返回0。 */
EdgeNode *e;
int i,k,gettop;
int top=0;  /* 用于栈指针下标  */
int count=0;/* 用于统计输出顶点的个数 */
int *stack;	/* 建栈将入度为0的顶点入栈  */
stack=(int *)malloc(GL->numVertexes * sizeof(int) );
for(i = 0; i<GL->numVertexes; i++)
if(0 == GL->adjList[i].in) /* 将入度为0的顶点入栈 */
stack[++top]=i;

top2=0;
etv=(int *)malloc(GL->numVertexes * sizeof(int) ); /* 事件最早发生时间数组 */
for(i=0; i<GL->numVertexes; i++)
etv[i]=0;    /* 初始化 */
stack2=(int *)malloc(GL->numVertexes * sizeof(int) );/* 初始化拓扑序列栈 */

printf("TopologicalSort:\t");
while(top!=0)
{
gettop=stack[top--];
printf("%d -> ",GL->adjList[gettop].data);
count++;        /* 输出i号顶点，并计数 */

stack2[++top2]=gettop;        /* 将弹出的顶点序号压入拓扑序列的栈 */

for(e = GL->adjList[gettop].firstedge; e; e = e->next)
{
k=e->adjvex;
if( !(--GL->adjList[k].in) )        /* 将i号顶点的邻接点的入度减1，如果减1后为0，则入栈 */
stack[++top]=k;

if((etv[gettop] + e->weight)>etv[k])    /* 求各顶点事件的最早发生时间etv值 */
etv[k] = etv[gettop] + e->weight;
}
}
printf("\n");
if(count < GL->numVertexes)
return ERROR;
else
return OK;
}

/* 求关键路径,GL为有向网，输出G的各项关键活动 */
void CriticalPath(GraphAdjList GL)
{
EdgeNode *e;
int i,gettop,k,j;
int ete,lte;  /* 声明活动最早发生时间和最迟发生时间变量 */
TopologicalSort(GL);   /* 求拓扑序列，计算数组etv和stack2的值 */
ltv=(int *)malloc(GL->numVertexes*sizeof(int));/* 事件最早发生时间数组 */
for(i=0; i<GL->numVertexes; i++)
ltv[i]=etv[GL->numVertexes-1];    /* 初始化 */

printf("etv:\t");
for(i=0; i<GL->numVertexes; i++)
printf("%d -> ",etv[i]);
printf("\n");

while(top2!=0)    /* 出栈是求ltv */
{
gettop=stack2[top2--];
for(e = GL->adjList[gettop].firstedge; e; e = e->next)        /* 求各顶点事件的最迟发生时间ltv值 */
{
k=e->adjvex;
if(ltv[k] - e->weight < ltv[gettop])
ltv[gettop] = ltv[k] - e->weight;
}
}

printf("ltv:\t");
for(i=0; i<GL->numVertexes; i++)
printf("%d -> ",ltv[i]);
printf("\n");

for(j=0; j<GL->numVertexes; j++)        /* 求ete,lte和关键活动 */
{
for(e = GL->adjList[j].firstedge; e; e = e->next)
{
k=e->adjvex;
ete = etv[j];        /* 活动最早发生时间 */
lte = ltv[k] - e->weight; /* 活动最迟发生时间 */
if(ete == lte)    /* 两者相等即在关键路径上 */
printf("<v%d - v%d> length: %d \n",GL->adjList[j].data,GL->adjList[k].data,e->weight);
}
}
}

int main(void)
{
MGraph G;
GraphAdjList GL;
CreateMGraph(&G);
CreateALGraph(G,&GL);
CriticalPath(GL);
return 0;
}

结果：



该算法的时间复杂度为O（n+e）。