最大子序列求和问题

最大子序列求和问题

题目：
给定K个整数组成的序列{ N1, N2, ..., NK }，“连续子列”被定义为{ Ni,
Ni+1, ..., Nj }，其中 1 <= i <= j <= K。“最大子列和”则被定义为所有连续子列元素的和中最大者。例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其连续子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。
输入格式：
输入第1行给出正整数 K (<= 100000)；第2行给出K个整数，其间以空格分隔。
输出格式：
在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数，则输出0。
输入样例：

6
-2 11 -4 13 -5 -2

输出样例
20

限制条件

　　时间限制
　　10000 ms

　　内存限制
　　65536 kB

　　代码长度限制
　　8000 B

　　判题程序
　　Standard

long MaxSubSum1(const vector<int>& a) // 算法复杂度O（N³）
{
long MaxSum = 0;
for (int i = 0; i < a.size(); i++)
{
for (int j = i; j < a.size(); j++)
{
long ＿Sum = 0;

for (int k = i; k <= j; k++)
{
＿Sum += a[k];
}
if (＿Sum > MaxSum)
MaxSum = ＿Sum;
}
}
return MaxSum;
}

这段直接遍历 所有的子列，最大的那个自然满足要求了，理解起来没难度，但是对于O（N³）的复杂度，无论如何我们也是不能接受的。

//算法复杂度 O（N²）
long maxSubSum2(const vector<int>& a){
long MaxSum = 0,sum;
for(int i=0;i<a.size();++i){
sum = 0;
for(int j=i;j<a.size();++j){
sum += a[j];
if(sum > MaxSum)
MaxSum = sum;
}
}
return MaxSum;
}

优化了SubSum1的代码，仍有O（N²）的复杂度，不再赘述了。

long maxSubSum3(const vector<int>& a){
long MaxSum = 0;
long tmp_max =0;
for(int i=0;i<a.size();++i){
tmp_max += a[i];
if(tmp_max >MaxSum)
MaxSum = tmp_max;
else if(tmp_max < 0)
tmp_max = 0;
}
return MaxSum;
}

SubSum3只有线性复杂度 O（N），其实也非常好理解，由于是“有序”的子序列，要使子序列和变大，首先我们需要使前的项（其实是项的集合）是整数，如果是负数就直接丢弃就行了。举个极端的例子：
　　　　数列：-1，-2，-3，-4，-5，-6，-7，8
由于前7项都是负的，我们直接丢弃就可以了。