距离与范数的关系

1.向量的范数

若



，那么：

L0范数：  x向量中非0的元素的个数

L1范数: ║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│（x向量各个元素绝对值之和)

L2范数: ║x║2=（│x1│2+│x2│2+…+│xn│2）1/2（x向量各个元素平方和的1/2次方，又称Euclidean范数或者Frobenius范数）
Lp范数:  

  （x向量各个元素绝对值p次方和的1/p次方）

L∞范数:║x║∞=max（│x1│，│x2│，…，│xn│)（x向量各个元素绝对值最大那个元素的绝对值）

2 距离与范数

欧式距离（对应L2范数）：最常见的两点之间或多点之间的距离表示法，又称之为欧几里得度量，它定义于欧几里得空间中。n维空间中两个点x1(x11,x12,…,x1n)与 x2(x21,x22,…,x2n)间的欧氏距离：



也可以用表示成向量运算的形式：



曼哈顿距离：曼哈顿距离对应L1-范数，也就是在欧几里得空间的固定直角坐标系上两点所形成的线段对轴产生的投影的距离总和。例如在平面上，坐标（x1, y1）的点P1与坐标（x2, y2）的点P2的曼哈顿距离为：

，要注意的是，曼哈顿距离依赖坐标系统的转度，而非系统在坐标轴上的平移或映射。

切比雪夫距离，若二个向量或二个点x1和x2，其坐标分别为(x11, x12, x13, ... , x1n)和(x21, x22, x23, ... , x2n)，则二者的切比雪夫距离为：d = max(|x1i - x2i|)，i从1到n。对应L∞范数。

闵可夫斯基距离(Minkowski Distance)，闵氏距离不是一种距离，而是一组距离的定义。对应Lp范数，p为参数。

闵氏距离的定义：两个n维变量（或者两个n维空间点）x1(x11,x12,…,x1n)与 x2(x21,x22,…,x2n)间的闵可夫斯基距离定义为： 



其中p是一个变参数。

当p=1时，就是曼哈顿距离，

当p=2时，就是欧氏距离，

当p→∞时，就是切比雪夫距离，       

http://blog.csdn.net/kingzone_2008/article/details/15073987