统计学概念基础---数学期望,方差,标准差,协方差

1.基本概念

数学期望就是平均值:

均值公式：



标准差：



方差：



均值描述的是样本集合的中间点，它告诉我们的信息是有限的，而标准差给我们描述的是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均。

2.协方差

二、为什么需要协方差

标准差和方差一般是用来描述一维数据的，但现实生活中我们常常会遇到含有多维数据的数据集，最简单的是大家上学时免不了要统计多个学科的考试成绩。面对这样的数据集，我们当然可以按照每一维独立的计算其方差，但是通常我们还想了解更多，比如，一个男孩子的猥琐程度跟他受女孩子的欢迎程度是否存在一些联系。协方差就是这样一种用来度量两个随机变量关系的统计量，我们可以仿照方差的定义：





来度量各个维度偏离其均值的程度，协方差可以这样来定义：





协方差的结果有什么意义呢？如果结果为正值，则说明两者是正相关的（从协方差可以引出“相关系数”的定义），也就是说一个人越猥琐越受女孩欢迎。如果结果为负值， 就说明两者是负相关，越猥琐女孩子越讨厌。如果为0，则两者之间没有关系，猥琐不猥琐和女孩子喜不喜欢之间没有关联，就是统计上说的“相互独立”。

从协方差的定义上我们也可以看出一些显而易见的性质，如：









 

三、协方差矩阵

前面提到的猥琐和受欢迎的问题是典型的二维问题，而协方差也只能处理二维问题，那维数多了自然就需要计算多个协方差，比如n维的数据集就需要计算

个协方差，那自然而然我们会想到使用矩阵来组织这些数据。给出协方差矩阵的定义：





这个定义还是很容易理解的，我们可以举一个三维的例子，假设数据集有三个维度，则协方差矩阵为：





可见，协方差矩阵是一个对称的矩阵，而且对角线是各个维度的方差。

 

四、总结

理解协方差矩阵的关键就在于牢记它的计算是不同维度之间的协方差，而不是不同样本之间。拿到一个样本矩阵，最先要明确的就是一行是一个样本还是一个维度，心中明确整个计算过程就会顺流而下，这么一来就不会迷茫了。