最小二乘法直线拟合及其Matlab实现

最小二乘法，通常用在我们已知数学模型，但是不知道模型参数的情况下，通过实测数据，计算数学模型，例如，在题目中，数学模型就是直线方程y=ax+b，但是不知道直线方程的a和b。
本来呢，我们只需要两组（xi,yi），就可以解得a和b，但是由于实测数据都存在误差，所以，我们很容易想到一个办法，我们测很多组数据来让我的a和b更加准确。
“我们测很多组数据来让我的a和b更加准确” ，那么我从数学角度如何体现这句话呢？
比如在此例中，已知数学模型 y=ax+b
我们有很多组数据，那么我们要找一条直线，使得我们测得的每个数据，到这条直线的偏离量的总和最小。（这句话有点拗口，慢慢理解下）
那么怎么用数学描述“偏离量总和最小”这个概念呢？
数学家运用了方差！

数学模型 y=ax+b
设F=ax+b-y
那么对于模型上的点(注意是模型上的点，也就是理论值)，F=ax+b-y=0
但是对于实际值来说，F=axi+b-yi 一定不等于0。那么我们就要找到一对a和b，使得F尽可能接近于0。
也就是说，“偏离量总和最小”这个概念，在数学上实际上就是要求F的方差最小。
即 Σ F^2→0 （F的平方和趋近于0）
即 Σ(axi+b-yi)^2→0
那么我们得到一个方程f(a,b)=Σ(axi+b-yi)^2，我们要找到合适的a,b使得f(a,b)最小！
也就是说，我们要找到的实际上是f(a,b)的最小值点。（因为方差不可能小于0）
因此我们需要求f(a,b)的极值点。我们借助数学工具偏导。
如果有一组a,b使得
∂f(a,b)/∂a=0
∂f(a,b)/∂b=0
那么f(a,b)就是极值点，如果a,b只有一对，那么它就是最小值点。
即  ∂( Σ(axi+b-yi)^2 )/∂a=0
∂( Σ(axi+b-yi)^2 )/∂b=0
化简得到
a*Σxi^2 + b*Σxi = Σ(xi*yi)
a*Σxi + b*N = Σyi
其中N是(xi,yi)的个数。即我们测了多少组数据

解上面的二元方程，我们就可以得到唯一的一组a,b啦，这就是我们所需要的a和b

O(∩_∩)O~是不是蛮简单的？

Matlab最基础的程序如下：

%原始数据
X=[163     123     150      123     141];
Y=[186     126     172      125     148];
n=5;                %一共5个变量

x2=sum(X.^2);       % 求Σ(xi^2)
x1=sum(X);          % 求Σ(xi)
x1y1=sum(X.*Y);     % 求Σ(xi*yi)
y1=sum(Y);          % 求Σ(yi)

a=(n*x1y1-x1*y1)/(n*x2-x1*x1);      %解出直线斜率b=(y1-a*x1)/n
b=(y1-a*x1)/n;                      %解出直线截距
%作图
% 先把原始数据点用蓝色十字描出来
figure
plot(X,Y,'+');
hold on
% 用红色绘制拟合出的直线
px=linspace(120,165,45);%这里直线区间根据自己实际需求改写
py=a*px+b;
plot(px,py,'r');

结果 a=1.5555  b=-66.365