图的基本概念及介绍

图是比树更加复杂的非线性数据结构。

在树结构中，数据元素之间是一个层次关系，每一层的数据元素可能和下一层中多个元素相关，但只能和上一层中一个元素相关。在图这种数据结构中，数据元素之间的关系是任意的，每个数据元素和其他数据元素相关，这就导致数据元素之间关系复杂。 图的应用也非常广泛，如交通图，通信网络图等。

如下图：



图由数据元素和连接数据元素的线构成，在图中，数据元素称为顶点（Vertex），连接这些顶点的线称为边（Edge）。

一个图由顶点集合和边集合组成，记为：G=(V,E) 或者 G=(V(G)，E(G))，其中V(G)表示顶点非空集合（即至少有一个顶点），每个顶点可以用不同字母或数字表示。E（G）是所有边的集合，该集合可以为空，即没有变，每条边由所连接的两个顶点表示。

在上图a中，边没有方向，这种图叫无向图，由于边没有方向，表示边的两个顶点没有顺序要求，对V1和V2之间，既可以用（V1，V2）也可以是(V2，V1)。

在上图b中，边有方向，这种图叫有向图，有向图的边的两个顶点必须有先后顺序，边用尖括号<>括起来，而不是圆括号（）。。在V1到V2之间边为<V1，V2>，在V2到V1之间边为<V2，V1>

邻接点：在图中一条边两个顶点互称为邻接点，在上图a中，v3的邻接点有v1和v5,。。在有向图中，一条边两个顶点分别称为起始顶点和结束顶点，对上图b中，<V1，V2>这两个顶点，V1是V2的入边邻接点，V2是V1的出边邻接点..。

顶点的度：指的是连接该顶点的边的数量。对于无向图，顶点V的度是以该顶点为一个端点的边的数量，记作D（V），在无向图a中，V1的度为3，V2的度为2,；在有向图中，顶点V的度有入度和出度之分，入度即该顶点入边数量，即ID（V），出度是该顶点出边的数量OD（V），顶点V的度D（V）=ID（V）+OD（V），在上图b中，V2入度为2，出度为2，所以V2的度为4。

完全图：

在图中，每两个顶点之间都存在一条边，则成为完全图。

对于无向图，边是没有方向的，因此每两个顶点之间有一条边连接即可，对于有n个顶点的无向完全图，其总边数为（n-1）+(n-2)+...+1=n*(n-1)/2。而对于有向图，因为边是有向的，要在每两个顶点之间连同，对n个顶点的有向完全图，其总边数为n*(n-1)。

子图：

如果一个图G2的所在顶点和边都是另一个图G1 的子集，则称G2是G1的子图，只有顶点和边的集合都是子集，才称为子图，也就是说若顶点集合是子集，而边集合不是子集，不能称为子图。如下图：b,c是a的子图：



路径和回路：

在一个图中，从顶点Vm到Vn之间，存在一个顶点序列Vm，V1，V2。。Vn，使得（Vm，V1）、（V1，V2）。。（Vn-1，Vn），表示一条路径

路径长度是指路径上边的数量，如上图A中，V2到V:5有3条路径：

1：（V2，V1），（V1，V5）路径长度为2；

2： （V2，V1），（V1，V3），（V3，V5）路径长度为3；

3：（V2，V4），（V4，V5）路径长度为2.。

若一条路径上顶点不重复出现，则称这个路径为简单路径。

若路径上第一个顶点和最后一个顶点相同，称为回路，或环，除了第一个顶点和最后一个顶点相同，其余各顶点都不重复出现的回路称为简单回路。

连通图和连通分量：

在无向图中，若两个顶点之间有路径，则称这两个顶点的连通的，若无向图G任意两个顶点都是连通的，则称图为连通图，否则称为非连通图；无向图G的极大连通子图称为G的连通分量，任何连通图的连通分量只有一个，即给图本身，而非连通图有多个连通分量。

权和网：

在一个图中，每条边可以标上具有某种含义的数值，该数值称为对应边的权，边上带有权值的图，称为带权图，也叫网。