二叉堆(binary heap)的insert和build 时间复杂度分析

1. example

下图是构建max-heap的详细过程。



worst-case下的时间复杂度分析

2. insert - O(logn)

在worst-case下，新插入的node 需要不断的和它的parent进行swap，直到它为root为止，正如上图所示。

假设 heap的高度为h, binary tree最多有2^(h+1) - 1 个 nodes. 因此新插入一个node最多需要log(n+1) -1 次comparisons. big O is O(logn)

3. build - O(n)

从example里看出，build the heap可以通过连续的insertion完成，每次insertion需要O(logn), 有n个nodes，因此build的时间复杂度为O(nlogn)。

Question：但是，为什么wiki里说build的时间复杂度为O(n)呢？

Answer：因为利用多次insertions来build a heap不是最优的算法。具体算法可参考这里。另外，这篇博客对时间复杂是O(n)进行了证明。简而言之就是，build的最优方法采用的是递归，自下而上的build。