求连续子数组和的最大值的变种问题

求连续子数组和的最大值，是一个很经典的问题，网上有很多文章来介绍这个问题，我们先简要介绍一下这个问题的动态规划解法。

对于一个输入数组a
，我们用res表示该数组连续子数组和的最大值，用sum[i]表示前i个元素中，包含第i个元素且和最大的连续子数组的和，这样我们可以从头到尾遍历数组，执行以下公式：

sum[i + 1] = max (a[i + 1], sum[i])

res= max (res, sum[i + 1])

对于sum数组，我们在一个时刻只会使用一个值，可以简化为一个数，具体代码如下所示：

int solve(int[] a) {
if (a == null || a.length == 0) {
return -1;
}
int sum = a[0], res = a[0];
for (int i = 1; i < a.length; i++) {
if (sum < 0) {
sum = 0;
}
sum += a[i];
res = Math.max(sum, res);
}
return res;
}

但是，这个问题并不是本文所讨论的重点，我们要讨论的是该问题的两个变种问题。

变种一：求连续子数组和的绝对值的最小值

这个问题乍看一下，不是也能用动态规划的思想来解决吗？解法如下：

用res表示该数组连续子数组和的绝对值的最小值，用sum[i]表示前i个元素中，包含第i个元素且和的绝对值最小的连续子数组的和，这样依然可以从头到尾遍历数组，执行以下公式：

sum[i + 1] = sum[i] * a[i + 1] >= 0 ? a[i + 1] : sum[i] + a[i + 1]

res = min (res, sum[i + 1])

这个方法的思想就是，如果sum[i]和a[i + 1]正负符号不同，则a[i + 1]加上sum[i]会有可能更接近0，从而使res有可能会更小；否则我们就直接舍弃sum[i]，直接令sum[i + 1]等于a[i + 1]，因为加上sum[i]会使sum[i + 1]更加偏离0。

上面方法介绍完了，看上去很有道理啊，但是非常不幸的是，这个方法是错误的。比如说，对于-5,-5,10构成的数组，按这种方法得到的结果为5，但实际上的结果为0。这是因为这个方法采用的是贪心的策略，并没有满足动态规划的最优子结构的条件，即sum[i + 1]为最优解并不能保证它的子问题sum[i]也是最优解。

既然我们不能使用动态规划来求解了，而暴力法需要O(n^2)的时间复杂度，那有没有好一些的方法呢？

我们试着求数组a
的前缀和数组b[n + 1]，即

b[0] = 0

b[1] = a[0] + b[0]

b[2] = a[1] + b[1]

...

b
= a[n - 1] + b[n - 1]

可以看出，a[i] + a[i + 1] + ... + a[i + k] = b[i + k + 1] - b[i]，这样我们可以把求数组a的连续子数组和的绝对值的最小值的问题，转化为求前缀数组b中两两之差的绝对值最小值，然后我们对数组b进行排序，然后比较相邻两个元素差的绝对值，得到的最小值便是数组a的连续子数组和的绝对值的最小值。时间复杂度方面，数组a转换为数组b需要O(n)的时间，数组b排序需要O(nlog(n))的时间，比较数组b相邻两个元素差的绝对值需要O(n)的时间，因此整体的时间复杂度为O(nlog(n))。

变种二：求环形数组连续子数组和的最大值

环形数组相比于非环形数组，它多了一些可能的情况，即非环形数组中前面一小部分和后面一小部分组成的连续子数组，而我们用原来的方法，是无法计算这种情况的。

对于环形数组a
，我们用sum(i, j)表示从下标i到j - 1的连续子数组和，则对于连续子数组和的最大值为sum(0, i) + sum(j, n)的情况（其中i < j），由于数组a的总和是固定值，我们可以将问题进行转换，用原来的方法来求该连续子数组和的最小值sum(i, j)，然后拿总和减去这个最小值，就能得到这种情况的最大值。这样我们分别用原来的方法，分别计算一次连续子数组和的最大值max和最小值min，以及数组所有元素之和total，这样环形数组连续子数组和的最大值就为max和total
- min中的较大者。这种方法的时间复杂度依然为O(n)。

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